7) Различные формы уравнения прямой в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Прямая линия (на плоскости или в пространстве) полностью определена, если на ней задана точка и задан ненулевой вектор , параллельный этой прямой. Разумеется, и точку, и вектор можно выбрать по-разному, но мы будем считать, что они как-то выбраны, и называть их начальной точкой и направляющим вектором.

Пусть дана прямая. Обозначим через и соответственно радиус-вектор ее начальной точки и направляющий вектор. Рассмотрим некоторую точку М с радиус-вектором (рис.).
Вектор , начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда М также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки М найдется такое число t, что
(1)
Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу (1) в качестве t, вектор в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение (1) называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина t, принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Пусть (x, у, z) и — координаты точек М и , соответственно, а вектор имеет компоненты . Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения (1), мы получим:

(2)
Для прямой на плоскости мы получаем, аналогично,

(3)

Уравнения (2) или (3) называются параметрическими уравнениями прямой.

Предложение 1. В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой и направляющим вектором может быть записано в виде =0 (4).

Уравнение (4) линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид =0 , т. е. Ах+By+C=0, где А=, В= и C=.
С другой стороны, при заданной системе координат для произвольного линейного многочлена Ах+By+C, , найдутся такая точка и такой вектор , что Ах+By+C=(4).

Действительно, выберем числа и так, чтобы А+B+C=0. В качестве таких чисел можно взять, например, , . Если С=, то Ах+By+C=A(x-)+B(y-), т.е.выполняется Ах+By+C=(4), при ,.

Для прямой на плоскости можно написать векторные уравнения :

=0 или .

Предложение 4. Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами А, В, С является нормальным вектором для плоскости с уравнением Ах+By+Cz+D=0.

Предложение 5. Вектор с компонентами в общей декартовой системе координат параллелен плоскости с уравнением Ах+By+Cz+D=0 тогда и только тогда, когда
(5)
Следствие. Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению (5), можно принять за направляющие векторы плоскости.

Предложение 6. Вектор а с компонентами в общей декартовой системе координат параллелен прямой с уравнением Ах+By+C=0 тогда и только тогда, когда
(6).
Действительно, должны быть пропорциональны компонентам — В, А направляющего вектора прямой.

Векторное уравнение прямой линии в пространстве может быть написано в виде

(7)
Здесь — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор ее начальной точки. В самом деле, это уравнение, как и векторное параметрическое, выражает коллинеарность векторов и .

Предложение 7. Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями

Ах+Ву+С=0, =0,
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, т. е. существует такое число , что
, (8)
Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, т. е. помимо уравнения (8) выполнено (с тем же ) равенство
(9)

Условие параллельности прямых также можно записать в виде:

=0

Доказательство. Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами (—В, А) и () — направляющие векторы прямых.
Докажем вторую часть. В равенствах (8) и (9) , так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.
Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид Ах+By+С=0 и (Ах+By)+=0 при некотором . Если, кроме того, существует общая точка обеих прямых, то +С=0 и ()+=0. Вычитая одно равенство из другого, получаем , как и требовалось.

Предложение 8. Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
Ax+By+Cz+D=0, =0,
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, т. е. существует такое число , что
, , (10)
Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, т. е. помимо уравнений (10) выполнено (с тем же ) равенство

(11)

Условие параллельности плоскостей также можно записать в виде:

===0 (12)

Уравнение прямой в пространстве. 6. Уравнения прямой в пространстве. Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
Ах+By+Cz+D=0, =0. (8)

Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда не выполняется условие их параллельности (12).

Вспомним параметрическое уравнение прямой (2):

t=, t=, t=, откуда

==

Последнее уравнение также задает прямую в пространстве.

Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана уравнением , то мы можем найти расстояние h от точки М с радиус-вектором до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах и , на длину его основания (рис.). Результат можно записать формулой h=.
Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.
Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением Ах + By + С = 0 в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть — начальная точка прямой, а М(Х, Y) — некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор (-B,A). Площадь параллелограмма равна S=. Тогда S=|АХ+BY+C| и
h=.

Комментарии