17.Ограниченность ф-ции непрерывной на отрезке
Т. Вейерштрасса: Если ф-ция непрерывна на отрезке ], то она ограничена т.е.
Д. Предположим противное, тогда
(4).
Полагая в (4) С = 1,2, ...,n,..., получим, что
(5).
Последовательность ограничена, так как для всех . По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т. е. существуют подпоследовательность и точка такие, что
(6),
где в силу условия (5) для любого выполняется неравенство
(7).
Из условий (6) и (7) следует, что , а из условия (6) в силу непрерывности функции в точке получаем
(8).
С другой стороны, утверждение (5) выполняется при всех и, в частности, при , т. е.
,
откуда следует, что , так как при .
Это противоречит равенству (8), согласно которому последовательность имеет конечный предел. Поэтому условие (4) не может выполняться, т. е. справедливо утверждение (3).