Система Orphus

Система Orphus

Признак квадрируемости плоской фигуры.

            Плоскую фигуру G назовем квадрируемой, если для любого  найдутся клеточные фигуры q  и  Q такие, что

где S(Q), S(q) – площади фигур Q и  q соответственно.

Пусть плоская фигура G квадрируема. Тогда площадью этой фигуры назовем число S(G) такое, что

Для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих условию

Теорема 1. Для любой квадрируемой фигуры G число S(G) существует и единственно, причем

S(G)=supS(q)=inf S(Q)

 

Так как для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

то по теореме об отделимости(1 семестр) существуют supS(q) и inf S(Q) (супремум и инфинум берутся по всем клеточным фигурам, соответственно содержащимся в фигуре G и содержащим эту фигуру), причем

S(q) S(Q),

S(

Откуда

Таким образом, число S(G)=supS(q) удовлетворяет условию

Докажем единственность числа S(G). Предположим. Что наряду с числом S(G) существует еще одно число S’(G), удовлетворяющее этому условию, т.е.

Тогда из последнего неравенства и условия  в силу свойств неравенств получаем, что

|S(G)-S'(G)|S(Q)- S(q)

для любых клеточных фигур таких, что  . Так как Gквадрируемая фигура, то разность  можно сделать сколь угодно малой в силу условия

  , выбрав соответствующие фигуры Q и  q. Поэтому из последнего неравенства следует, что  Таким образом, квадрируемая фигура  G имеет площадь S(G), причем в силу S(q) S(Q), справедливо

 S(G)=

Теорема 2. Для того чтобы плоская фигура G была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовали такие квадрируемые плоские фигуры  что

 

где  и   -  площади фигур Q и q соответственно.

 Необходимость условия теоремы очевидна, так как по определению квадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять , , где Q и q – клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям

Докажем достаточность. Фиксируя произвольное число , найдем в силу

  такие квадрируемые плоские фигуры  и , что

 

Так как  и  - квадрируемые плоские фигуры, то существуют клеточные фигуры Qи  qтакие. Что

   

Из двух последних серий неравенств следует, что

 

Это означает, что Gквадрируемая фигура, причем

Замечание 2. Можно доказать, что площадь квадрируемой фигуры обладает свойством аддитивности, инвариантности и монотонности.

 

 

 

 

 


Система Orphus

Комментарии