Система Orphus

Система Orphus
46 Разложение в степенной ряд ln(1+x).
Пусть f(x)=ln(1+x). Тогда

(21)
откуда находим
(22)

Оценим остаточный член,при пользуясь формулой (t)dt (9)(остаточный член ф-лы Тейлора для функции f в точке в интегральной форме) .Преобразуем эту формулу ,полагая .Тогда ,и формула (9) примет вид
(23)
Если f(x)=ln(1+x) ,то по формуле (23) , используя равенство (21),получаем :
(24)
Пусть . Тогда справедливы неравенства
(25)
(26)
так как.Отсюда следует ,что при любом выполняется неравенство
(27)
Используя неравенство (27), из формулы (24) получаем следующую оценку остаточного члена :
откуда следует ,что при , если |x|<1.
Пусть x=1 . Тогда , , , так как

Поэтому из формулы (24) следует ,что , откуда плучаем при .

Итак ,если , то остаточный член для функции f(x)=ln(1+x) стремится к 0 , при , т. е. ряд Маклорена сходится к f(x).
Из формулы (ряд Маклорена) и (22) , получаем разложение функции
ln(1+x) в ряд Маклорена :
(28) радиус сходимости которого R=1.
Формула (28) справедлива и при x=1 , и поэтому
=1–
Заменяя в формуле (28) x на (x) , получаем
(29).


.



Система Orphus

Комментарии