Система Orphus

Система Orphus

5. Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных. Первый дифференциал и инвариантность его формы.

Теорема. Пусть функции ,…, дифференцируемы в точке =(,…,), =(,…,) и функция f(y)=f(,…,) дифференцируема в точке .

Тогда сложная функция Ф(х)=f(,…,) дифференцируема в точке , причем при х

Ф(х)-Ф()=(-)+о(), =, i=.

Док-во: Так как функция f(y) дифференцируема в точке , то найдутся функции , , непрерывные в точке =(,…,) и такие, что f(y)-f()=, =. Пользуемся тем, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем: =, непрерывны в точке , причем ===. Подставляя в полученное ,…, и используя вышеполученные соотношения, получаем:

Ф(х)-Ф()=(-). Но функции , , дифференцируемы в точке , поэтому найдутся такие непрерывные в точке функции , что:

-=(-), =, i=,.

Подставляя в предыдущее соотношение, получаем:

Ф(х)-Ф()=(-), =.

Так как функции и непрерывны в точке , то и функции непрерывны в точке . Значит, сложная функция Ф(х) дифференцируема в точке , ч.т.д.


Пусть функция f(x) дифференцируема в точке . Тогда при ее можно записать в виде: f(x)=f()+()(-)+о(). Положим по определению =-. Если функция f(x) дифференцируема в точке , то линейную форму относительно приращений независимых переменных = назовем первым дифференциалом функции f(x) в точке . Иначе можно записать как:

f(x)=f()+df()+о().

Ищем дифференциал сложной функции. Пусть функции ,…, дифференцируемы в точке , а функция f(,…,) дифференцируема в точке =(,…,). Тогда функция Ф(х)=f(,…,) дифференцируема в точке , получаем: dФ()=df(,…,)====, =. Итак, df(,…,)=. (*)

Если бы ,…, были независимыми переменными, то отличился бы от дифференциала сложной функции (*) только тем, что в выражении - дифференциалы функции , а в =, - дифференциалы независимых переменных. Форма первого дифференциала инварианта относительно замены переменных. Инвариантность помогает не задумываться о независимости переменных в варианте записи через .

Пусть функция f(x) дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества G. Тогда в каждой точке можно вычислить дифференциал =. Он будет функцией 2n переменных.



Система Orphus

Комментарии