Система Orphus

Система Orphus

9. Непрерывные и регулярные отображения в евклидовом пространстве Еm. Теорема о локальной обратимости регулярного отображения.

Пусть на множестве заданы n функций ,…,. Они задают отображение f:E, которое каждой точке xE ставит в соответствие точку y=f(x), где ,…,. Точка y=f(x) называется образом точки х при отображении f. Точка х называется прообразом точки у.

Если , то множество {y:y=f(x), x} называются образом множества при отображении f. Если , то множество ={x:f(x)} называется прообразом множества .

Пусть G есть открытое множество. Отображение f:G называется непрерывным в точке , если такое, что таких, что , выполнено неравенство .

Отображение f:G называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множества G.

Лемма 1. Если G есть открытое множество, а f:G-непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества есть открытое множество.

Теорема 1. Пусть G-открытое множество в , а отображение f:G регулярно. Тогда в каждой точке оно локально регулярно обратимо, т.е. найдутся такие окрестности А и В, где , что отображение f:A()B() будет взаимно однозначным, причем обратное отображение регулярно.

Рассмотри в G систему уравнений =0, (25)

Пусть -произвольная точка множества G и . Тогда функции непрерывно дифференцируемы в G и ,. Так как отображение f регулярно, то

=(-10.

Для системы уравнений (25) выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности

K()={x:||, }, K(),

Q()={y:||, }, Q(),

что в K()Q() система уравнений (25) определяет переменные как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных:

,…,, , , , . (26)

Пусть B() есть внутренность Q():

B()={y:||, },

Вследствие леммы 1 прообраз открытого множества B() при непрерывном отображении f есть открытое множество, причем в силу условий (26) это множество содержит точку . Обозначим прообраз через А() на окрестность B() будет взаимно однозначным, и обратное отображение : B()А(), определяемое формулами (26), будет непрерывно дифференцируемым.

Докажем регулярность обратного отображения . Так как ,…,0, , то, дифференцируя эти тождества по переменным , получаем

=== (27)

Из равенств (27) и из теоремы об умножении определителей следует, что

, y=f(x), .

Следствие. Если f:G есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества есть открытое множество.


Система Orphus

Комментарии