Примеры применения. Магнитное поле соленоида
16. Теорема Гаусса для магнитного поля
Теорема Гаусса: магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю. Пусть заряд движется равномерно, силовые линии — окружности. Возьмем тонкую трубку, образованную силовыми линиями. Ввиду симметрии поток через сечение трубки постоянный. Трубка пересечет поверхность четное число раз, потоки через площадки dS1 и dS2 противоположны и в сумме дают нуль. Т.к. всё пространство можно разбить на такие трубки и в каждой из них поток = 0, то суммарный поток также равен нулю: sumo (B dS) = 0, div B = 0. Это значит, что магнитных зарядов не существует, магнитное поле соленоидально.
Теорема о циркуляции
Линейный интеграл sum(12) B ds — магнитное напряжение между т. 1 и 2. Пусть магнитное поле B создается постоянным током I в бесконечно тонком замкнутом витке. Напряжённость такого поля B = -grad fi, fi=-I/c*Omega —
магнитный потенциал, Omega — телесный угол, под которым виток виден из точки наблюдения. sum(12) B ds = sum(12) dfi
= fi1-fi2. Допустим, что 1 и 2 совпадают. Циркуляция sumo B ds = 0, если путь интегрирования не обходит вокруг тока. Если же он обходит вокруг тока один раз, то sumo B ds = 4pi/ c * I. I>0, если его направление находится в правовинтовом соотношении с направлением пути обхода. Теорема о циркуляции: циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур циркуляции, умноженной на 4pi/c. Если j конечна, то I = sum(S) j_n dS = sum(S) (j dS), где S — любая поверхность, натянутая на контур. Тогда sumo (B dS)
= 4pi/c sum (j dS).
Диф.ф.т. о циркуляции. Применим теорему к прямоугольному контуру ABCD dy*dz, плоскость которого перп. x. AB: B_y(x,y,z) dy. CD: -B_y (x, y, z+dz) dy. Сумма -dB_y/dz dydz = -dB_y/dz dS. Стороны BC и AD вносят вклад +B_z/dy dS. Циркуляция sumo B_s ds = (dB_z/dy — dB_y/dz) dS = 4pi j_x dS/c. Записываем для
остальных направлений, умножаем на орты и складываем: rot B = 4pi
j/c. rot B = [nabla B].
Примеры применения
Прямолинейный провод с током. Силовые линии имеют форму окружностей. Длина вектора B одинакова на силовой линии, циркуляция = 2piRB. По т-ме о циркуляции она равна 4piI/c. B=2I/cR. Рассмотрим цилиндрический провод радиуса а. Наружное поле определяется прежней формулой. Внутри: циркуляция B по силовой линии равна 2piRB = 4piI'/c, I' = IR^2/a^2 — ток через рассматриваемый контур. B = 2I/ca^2*R, R<a. Если провод полый, поле внутри него равно нулю.
Магнитное поле бесконечно длинного соленоида. i — поверхностная плотность тока. Возьмем два элемента Idl1 и Idl2, симметрично расположенных относительно точки наблюдения. По закону Био-Савара результирующее поле dB = I/cr1^3*[dl1r1]+I/cr2^3*[dl2r2] = I/cr1^3*[dl1 (r1+r2)]. dB параллельно оси соленоида независимо от расположения т.А снаружи или внутри катушки. Удалим т.А в бесконечность. Применим т.о циркуляции к прямоуголному контуру ABCD, CD бесконечно удалена. BC и AD не вносят вклада, т.к. перпендикулярны B. По CD также 0. Циркуляция по AB равна Bl, l=AB. По т. о циркуляции Bl = 4piI/c = 4pi il/c, B = 4pii/c — для соленоида с произвольным сечением
