Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (плоский случай).

Пусть в области G задано непрерывное векторное поле (P(x,y),Q(x,y)). Например, это может быть силовое поле. Возьмем в области G две произвольные точки, А(х₀,у₀) и В(х,у). Соединим эти две точки кусочно гладкой кривой Г_AB, лежащей в G. Вычислим интеграл Pdx + Qdy. Этот интеграл можно интерпретировать как работу силы при движении точки по кривой Г_AB. Вообще говоря, Pdx + Qdy зависит как от точек А и В, так и от пути, по которому мы из точки А приходим в точку В. Наша цель — выяснить условия независимости величины этого интеграла (работы силы) от пути интегрирования.

Теорема 1. Следующие три условия эквивалентны:

а) для любой замкнутой ломаной

Pdx + Qdy = 0;

б) Pdx + Qdy = 0 не зависит от ломаной , соединяющей точки А и В;

в) поле (P(x,y),Q(x,y)) потенциально, т. е. существует такая

непрерывно дифференцируемая функция U(x,y) (потенциал поля), что

Р(х,у)dx + Q(x,у)dy = dU,

P(x, y) = , Q(x, y) = .

Доказательство проведем по круговой схеме: а)=>б)=>в)=>а).

1. Докажем, что а)=>б). Пусть выполнено условие а). Возьмем две произвольных точки, А и В, в области G. Соединим их ломаной . Пусть — любая другая ломаная, соединяющая точки А и В. Тогда L = + есть замкнутая ломаная. В силу условия а) имеем

0 = Pdx + Qdy = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy =

= Pdx + Qdy - Pdx + Qdy

Pdx + Qdy = Pdx + Qdy.

т. е. интеграл Pdx + Qdy не зависит от ломаной , соединяющей точки А и В.

2) Докажем, что б)=>в). Пусть Pdx + Qdy не зависит от ломаной , соединяющей точки А и В. Фиксируем точку А(х₀,у₀), а точку В(х,у) будем считать переменной. Тогда Pdx + Qdy зависит только от точки В, и, следовательно, в области G определена функция

U(x, y) = Pdx + Qdy

Покажем, что функция U(x,y) — потенциал поля. Соединим точки В(х,у) и

С(х+х, у) отрезком ВС, лежащим в области G (рис. 51.7). Это всегда можно сделать при достаточно малом х, так как G — открытое множество. Тогда

=

= =

==

Применяя при фиксированном у к непрерывной функции интегральную теорему о среднем, получаем

, где

Воспользовавшись непрерывностью функции Р(х,у) и переходя к пределу при , получаем

Аналогично доказывается, что .

Так как Р(х,у) и Q(x,y) — непрерывные в области G функции, то функция U(x,y) непрерывно дифференцируема в области G.

2. Докажем, что в)=>а). Это следует из более общего утверждения: если

Р(х,у)dx + Q(x,у)dy = dU, то для любого кусочно гладкого контура справедливо равенство . Действительно, если x=x(t), y=y(t), , есть уравнение кривой , то

=

==

=.

так как начало и конец замкнутой кривой совпадают.

Следствие. Если равен нулю по любой замкнутой ломаной, то этот интеграл равен нулю и по любому кусочно гладкому контуру.

○Пусть для любой замкнутой ломаной L. Тогда существует потенциал U(x,y) и

.

Следовательно, = 0.●

Комментарии