Система Orphus

Система Orphus

Общее решение линейной однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.

Рассмотрим нормальную линейную однородную систему

\dot{x}(t)=Ax(t)~~~~(1)

Лемма 3. Каждая из вектор-функций x_r(t)=e^{\lambda t}\cdot P_r(t), r=1,..., k является решением системы (1). где P_k(t)=(\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}h_1+...+h_k).

Теорема. Пусть жорданов базис в \mathbb{C}^n состоит из S жордановых цепочек h_1^{(j)},..., h_{k_j}^{j} длин kj(k1 + ... + kS = n) для собственных значений λj преобразования A, j = 1,...,S.

Тогда:

а) вектор - функция вида

x(t)=\sum_{j=1}^{S}e^{\lambda_j t}\left[C_1^{(j)}P_1^{(j)}(t),...,C_{k_j}^{(j)}P_{k_j}^{(j)}(t) \right]~~~~~(2)

б) если x(t) - какое-либо решение системы (1), то найдется такой набор C_1^{(j)},...,C_{k_j}^{(j)} при котором x(t) задается в форме (2).


Доказательство.

a) немедленно следует из принципа суперпозиции и Леммы 3.

б) Пусть x(t) - какое-либо решение системы (1). Покажем, что оно имеет вид (2). При каждом \forall t\in\mathbb{R} решение x(t) можно разложить по жордановому базису \mathbb{C}^n. Пусть

x(t)=\sum_{j=1}^{S}\left[\zeta_1^{(j)}(t)h_1^{(j)}+\zeta_{k_j}^{(j)}(t)h_{k_j}^{(j)} \right]

Подставим x(t) в (1) и воспользуемся определением жордановой цепочки. Имеем из единственности разложения

находим S систем вида:

\left\{\begin{array}{lcl}
\dot\zeta_1^{(j)}=\lambda_j\zeta_1^{(j)}+\zeta_2^{(j)} \\
........................\\
\dot\zeta_{k_j-1}^{(j)}=\lambda_j\zeta_{k_j-1}^{(j)}+\zeta_{k_j}^{(j)}\\
\dot\zeta_{k_j}^{(j)}=\lambda_j\zeta_{k_j}^{(j)}\end{array} 
\right.

решая эти системы приходи к утверждению теоремы.


Система Orphus

Комментарии