Система Orphus

Система Orphus

Отыскание решений линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.

Рассмотрим нормальную линейную неоднородную систему

\dot {x}(t)=Ax(t)+f(t)~~~~~~(1)

Определение.

Вектор - квазимногочлен называется вектор-функция f(t) = eμtPm(t), где μ - заданное комплексное число, Pm(t) - вектор- многочлен степени m, коэффициентами котрого служат n - мерные векторы.

Теорема.

Если в системе (1)

f(t)=e^{\mu t}\left[P_m^{(1)}(t)h_1+...+P_m^{(k)}(t)h_k\right] ,

где P_m^{(1)}(t),...., P_m^{(k)}(t) - многочлены степени не выше m, то для системы (1) существует и единственно решение вида

x(t)=\left\{\begin{array}{lcl}

e^{\mu t}\cdot Q_m(t),~~~~\mu\ne\lambda, \\

t\cdot e^{\mu t}\cdot Q_{m+k-1}(t),~~~~\mu = \lambda.

\end{array} \right.


Ищем решение (1) в виде

x(t)=\sum_{j=1}^{k}\zeta_j(t)h_j.

Подставляя в систему (1) и используя определение жордановой цепочки, и в силу линейной независимости h1,...,hk следует, что

\dot\zeta_1=\lambda\zeta_1+\zeta_2+e^{\mu t}P_{m}^{(1)}(t)
.................
\dot\zeta_{k-1}=\lambda\zeta_{k-1}+\zeta_{k}+e^{\mu t}P_{m}^{(k-1)}(t)
\dot\zeta_k=\lambda\zeta_k+e^{\mu t}P_{m}^{(k)}(t)

1) при \mu\ne \lambda решение этой системы

x(t) = eμtQm(t)

2) при μ = λ решение этой системы

x(t)=t\cdot e^{\mu t}Q_{m+k-1}(t)

Система Orphus

Комментарии