Система Orphus

Система Orphus

Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

Обозначим через \mathbb{C}^1[a,b] множество всех непрерывно дифференцируемых функций, заданных на [a,b]. Для \forall y_1(x), y_2(x) \in \mathbb{C}^1[a,b] введем расстояние между ними по формуле


\|y_1-y_2 \|_{\mathbb{C}^1[a,b]}=\max_{x\in[a,b]}|y_1(x)-y_2(x)|+\max_{x\in[a,b]}|y'_1(x)-y'_2(x)|

Множество функций C1[a,b] с введенной метрикой является линейным нормированным пространством.


Пусть F(x,y,p) - заданная непрерывно дифференцируемая функция для \forall x \in [a, b] и \forall(y, p)\in \mathbb{R}^2. Рассмотрим интеграл

J(y)=\int_{a}^{b}F(x, y(x), y'(x))dx~~~~~~(1)

на множестве M тех функций y(x)\in \mathbb{C}^1[a,b], которые удовлетворяют граничным условиям

y(a)=A,~~~~y(b)=B,

где A и B заданные числа. Функции y(x)\in M будем называть допустимыми.


Определение. Говорят, что функция \hat{y}(x)\in M дает слабый локальный минимум функционала (1), если \exists \varepsilon > 0: \forall y(x) \in M, \|\hat{y}-y\| < \varepsilon \rightarrow J(y)\geq J(\hat{y}).


Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума функционала (1) называется простейшей вариационной задачей.


Теорема. Пусть функция F(x,y,p) - дважды непрерывно дифференцируема при \forall x \in [a, b] и \forall(y, p)\in \mathbb{R}^2. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция \hat{y}(x) является решением простейшей вариационной задачи, то необходимо, чтобы функция \hat{y}(x) на [a,b] удовлетворяла уравнению Эйлера

\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0

Доказательство. Условие экстремальности

0=\int_{a}^{b}\left\{\frac{\partial F[x, \hat{y}, \hat{y}']}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial F[x, \hat{y}, \hat{y}']}{\partial y'}\eta'(x)\right\}dx

если второй интеграл взять по частям то приходим к следующему эквивалентному уравнению

0=\frac{\partial F[x, \hat{y}, \hat{y}']}{\partial y'}\eta(x)\Bigr|_{a}^{b}+\int_{a}^{b}\left\{\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}\right\}\eta(x)dx

ну и получаем утверждение теоремы.


Система Orphus

Комментарии