Система Orphus

Система Orphus

Вариационные задачи для функционалов, зависящих от нескольких функций

Пусть \mathbb{C}_{n}^{1}[a, b] обозначает множество всех вектор-функций y(x) с n непрерывно дифференцируемыми компонентами на [a,b]. Аналогично введем расстояние.

Все аналогично одномерному случаю.

Теорема. Если дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция \hat{y}(x)\in M дает слабый локальный экстремум функционала (1), то \hat{y}(x) необходимо на [a,b] удовлетворяет системе уравнений Эйлера

\frac{\partial F}{\partial \hat{y}_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial \hat{y}'_i}=0,~~~i=1,..,n

.

Фиксируем например n − 1 функций и производных, и получаем простую вариационную задачу по одной функции, для которой ну просто необходимо выполнение уравнения Эйлера. Теорема доказана.


Система Orphus

Комментарии