Система Orphus

Система Orphus

Задача Лагранжа (без доказательства).

Рассмотрим интеграл

J(y, z)=\int_{a}^{b}F[x, y(x), y'(x), z(x), z'(x)]dx~~~~~(1)

на множестве пар функций (y(x),z(x))

M=\left\{(y(x), z(x))\in \mathbb{C}_2^1[a, b]:\right.
\left.y(a)=A_1, z(a)=A_2, y(b)=B_1, z(b)=B_2, g[x, y(x), z(x)]=0, \forall x\in[a.b] \right\}

Составим Лагранжиан

L = F[x,y(x),y'(x),z(x),z'(x)] + λ(x)g(x,y,z), где \lambda(x)\in \mathbb{C}[a, b], называемая неопределенным множителем Лагранжа.


Теорема. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция (\hat{y}(x), \hat{z}(x)) является решением задачи Лагранжа и пусть \left[\frac{\partial g(x, \hat{y}, \hat{z})}{\partial y}\right]^2+\left[\frac{\partial g(x, \hat{y}, \hat{z})}{\partial z}\right]^2 > 0 \forall x\in [a,b]. Тогда существует множитель Лагранжа λ(x) такой, что пара функций (\hat{y}(x), \hat{z}(x)) необходимо на [a,b] удовлетворяет системе уравнений Эйлера вида

\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0~~~~~\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial z'}=0

Система Orphus

Комментарии