Система Orphus

Система Orphus

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормального уравнения первого порядка.

Нормальная система в векторных обозначениях примет вид

y'(x)=f(x, y)~~~~(1)

где f(x, y)\in \mathbb{C}_n(G).

Определение. Вектор-функция y=\varphi(x) называется решением нормальной системы (1) на промежутке I\in \mathbb{R}, если:

1.\varphi(x) \in \mathbb{C}_n(I)

2.(x, \varphi(x)) \in G

3.\varphi'(x)=f(x, \varphi(x))

Рассмотрим начальное условие

y(x_0)=y_0,~~~~(x_0, y_0)\in G~~~~~(2)

Точка (x0,y0) называется начальной точкой, а ее координаты x0,y0 называются начальными данными.

Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.


Система уравнений вида

y(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(\zeta, y(\zeta))d\zeta~~~~(3)

где (x_0, y_0)\in G, f(x, y)\in \mathbb{C}_n(G), назыается системой интегральных уравнений.

Вектор-функция y=\varphi(x) называется решением на промежутке I\in \mathbb{R} системы (3), если:

1.\varphi(x) \in \mathbb{C}_n(I)

2.(x, \varphi(x)) \in G

3.\varphi(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(\zeta, \varphi(\zeta))d\zeta

Лемма об эквивалентности. Вектор-функция y=\varphi(x) - решение задачи Коши (1) при условии (2) тогда и только тогда, когда \varphi(x) решение системы интегральных уравнений (3).


Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть вектор-функция f(x, y)\in \mathbb{C}_n(G) удовлетворяет на каждом компакте области G условию Липшица

\exists L > 0: \forall (x, y_1),(x, y_2)\in G |f(x, y_1)-f(x, y_2)|\leq L|y_1-y_2|

Тогда:

1) найдется такое δ > 0, что при | xx0 | решение задачи Коши (1) при условии (2) существует,

2)решение задачи Коши единственно


В силу леммы об эквивалентности доказательство теоремы сводится к доказательству существования и единственности решения системы интегральных уравнений (3).

A)Существование

Поскольку (x_0, y_0)\in G и G - открытое множество, то \exists p, q что замкнутый цилиндр G_{pq}=\left\{(x, y)\in G,|x-x_0| \leq p, |y-y_0| \leq q \right\} принадлежит G. В силу того, что цилиндр Gpq компакт то

\exists M > 0 :|f(x, y)|\leq M, \forall (x, y)\in G_{pq}

Будем строить решение системы интегральных уравнений (3) методом приближений Пикара при | x0x | < δ, где \delta=min(p, \frac{q}{M}). Определим последовательные приближения следующим рекурентным образом при |x-x_0| \leq \delta:

y_0(x)=y_0,~~~~~y_{i+1}=y_0+\int_{x_0}^{x}f[\zeta, y_{i}(\zeta)]d\zeta

ясно, что каждая yi(x) непрерывна при (x,y), и что (x, y_i(x))\in G_{pq}

|y_1(x)-y_0(x)|=\left|\int_{x_0}^{x}f[\zeta, y_0]d\zeta\right|\leq \left|\int_{x_0}^{x}|f[\zeta, y_0]|d\zeta\right|\leq M |x-x_0|\leq M\delta \leq q

Как известно из курса анализа, равномерная сходимость функционального ряда \{y_i(x)\}_{0}^{\infty} эквивалентна равномерной сходимости ряда вида

y_0(x)+\sum_{i=0}^{\infty}[y_{i+1}-y(x)]

докажем оценку

|y_{i+1}(x)-y_{i}(x)|\leq\int_{x_0}^{x}|f[\zeta,y_{i}(\zeta)]-f[\zeta,y_{i-1}(\zeta)]|dx\leq
\leq L\int_{x_0}^{x}|y_{i}(\zeta)-y_{i-1}(\zeta)|dx\leq
\leq L\frac{L^{i-1}M}{i!}\int_{x_0}^{x}|\zeta-x_0|dx=L^iM\frac{|x-x_0|^{i+1}}{(i+1)!}

По теореме Вейршрасса получаем, что

y_i(x)\rightrightarrows \varphi(x)

и

\int_{x_0}^{x}f[\zeta,y_i(\zeta)]d\zeta\rightrightarrows\int_{x_0}^{x}f[\zeta,\varphi(\zeta)]d\zeta

Единственность следует из леммы Гронуолла.


Система Orphus

Комментарии