Система Orphus

Система Orphus

Метод введения параметра для уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной.

F(x, y, y')=0~~~~~(1)

-общий вид дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Здесь


F(x,y,p) - заданная непрерывная функция в некоторой непустой области G евклидового пространства \mathbb{R}^3 с декартовыми прямоугольными координатами x,p,y; x - аргумент; y = y(x) - неизвестная функция.


Вектор функция x=\varphi(t), y=\psi(t), где t принадлежит промежутку I\in R и \varphi(t), \psi(t) - непрерывно дифференцируемы на I, причем \varphi'(t)\ne 0, \forall t\in I, если при подстановке x=\varphi(t), y=\psi(t) в уравнение (1) получаем тождество

F\left[\varphi(t),\psi(t),\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right]\equiv 0

параметрическое решение (1) допускает явное представление y = ω(x).


Положим y' = p и рассмотрим смешанную систему уравнений

\left\{
\begin{array}{rcl}
F(x, y, p)=0 \\
& &~~~~~~~~~~~~~~(2)\\
dy=pdx 
\end{array} \right.

Покажем, что уравнение (1) эквивалентно системе (2), т.е каждое решение уравнения (1) определяет решение системы (2) и наоборот.


Действительно, если x=\varphi(t), y=\psi(t) является параметрическим решением (1), то p(t)=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\equiv y_x'(t). Отсюда dy(t)\equiv p(t)dx(t) и F[\varphi(t),\psi(t),p(t)]\equiv 0. (1)\to(2)

Обратное пусть x=\varphi(t), y=\psi(t), p(t) удовлетворяют системе (2), находим из второго p(t)=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}, а из первого следует что F\left[\varphi(t),\psi(t),\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right]\equiv 0.


Уравнение F(x,y,p) = 0 определяет в \mathbb{R}^3 такую гладкую поверхность S, для которой известно также и параметрическое представление. Это значит, что существуют такие непрерывно дифференцируемые функции x=\varphi(u,v), y=\psi(u,v), p= \varkappa(u,v), в некоторой области Ω плоскости с декартовыми прямоугольными координатами u,v, для которых положительна сумма квадратов якобианов:

\left[\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right]^2+\left[\frac{D(y,p)}{D(u,v)}\right]^2+\left[\frac{D(p,x)}{D(u,v)}\right]^2 > 0

и F[\varphi(u,v), \psi(u,v),\varkappa(u,v)]\equiv 0 для всех (u, v)\in \Omega.

Второе уравнение системы (2) дает уравнение вида

\frac{\partial \psi}{\partial u}du+\frac{\partial \psi}{\partial v}dv\equiv\varkappa(u, v)\left[\frac{\partial\varphi}{\partial u}du+\frac{\partial\varphi}{\partial v}dv\right]

или

\left[\frac{\partial\psi}{\partial u}-\varkappa\frac{\partial\varphi}{\partial u}\right]du+\left[\frac{\partial \varphi}{\partial v}-\varkappa\frac{\partial\psi}{\partial v}\right]dv=0

Получилось уравнение первого порядка в симметричной форме.


Система Orphus

Комментарии