Система Orphus

Система Orphus

(old)

Дифференциальное уравнение вида

y^{(n)}(x)+a_1y^{(n-1)}(x)+...+a_{n-1}y'(x)+a_ny(x)=0~~~~~(1)

где x\in \mathbb{R} и a1,...,an - заданные действительные или комплексные числа, называют линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.


L(D) = Dn + a1Dn − 1 + ... + an − 1D + an- дифференциальный многочлен степени n.

уравнение (1) можно записать в виде

L(D)y(x) = 0

Общее решение

Принцип суперпозиции.Если y1(x), y2(x) - какие-либо решения уравнения (1) и C1,C2 - произвольные комплексные числа, то функция y = C1y1 + C2y2 также является решением уравнения (1).


Теорема. Пусть характеристическое уравнение L(λ) = 0 имеет корни λ1,...,λm соответственно кратности k1,...,km (k_1+...+k_m=n). Тогда:

a)любая функция вида

y(x)=P_1(x)e^{\lambda_1x}+...+P_m(x)e^{\lambda_mx}~~~~~~(4),

где

P_j(x)=C_0^j+C_1^jx+...+C_{k_j-1}^jx^{k_j-1}- многочлен степени (kj − 1), коэффициентами которого служат произвольные комплексные постоянные C_0^j,...,C_{k_j-1}^j, является решением уравнения (1).

б)если y(x) - какое-либо решение уравнения (1), то найдется единственный набор коэффициентов многочленов P1(x),...,Pm(x), при еотором это решение задается формулой (4).


a) теоремы немедленно следует из леммы 3 и принципа суперпозиции для уравнения (1)


б)докажем методом математической индукции по n.

При n = 1 уравнение (1) имеет вид линейного однородного уравнения первого порядка для которого ранее уже было найдено решение y=Ce^{-a_1x}.

Пусть теперь n > 1 и пусть всякое решение y(x) линейного однородного уравнения порядка (n − 1) единственным образом записывается в виде (4).

В силу условий теормы

L(D)=(D-\lambda_1)^{k_1}....(D-\lambda_m)^{k_m}

введем новый дифференциальный многочлен степени (n − 1)

M(D)=(D-\lambda_1)^{k_1-1}....(D-\lambda_m)^{k_m}

положим (D − λ1)y = z. В таком случае уравнение (2) эквивалентно системе

\left\{\begin{array}{rcl}(D-\lambda_1)y=z \\& &~~~~~~~~~~~~~~(2)\\M(D)z=0\end{array} \right.

по выведенной ранее формуле первое уравнение в системе имеет решение

y=e^{\lambda_1x}\left(C+\int e^{-\lambda_1x}z(x)dx\right)

можно показать, что если z(x) можно представить в виде (4), то и этот интеграл представим в виде (4).


Система Orphus

Комментарии