Система Orphus

Общее решение линейного однородного уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентамив случае, когда правая часть является квазимногочленом.

Рассмотрим уравнение

L(D)y(x)=e^{\mu x}\cdot P_m(x)~~~~(1)

где μ - заданное комплексное число, Pm(x) - заданный многочлен степени m.

Определение. Если число μ является корнем характеристического уравнения L(λ) = 0, то говорят, что в уравнении (1) имеет место резонансный случай.

Теорема. Для уравнения (1) существует и единственно решение вида

y(x)=x^k\cdot Q_m(x)\cdot e^{\mu x}

где Qm(x) - многочлен одинаковой с Pm(x) степени m, а число k равно кратности корня μ характеристического уравнения L(λ) = 0 в резонансном случае и k = 0 в нерезонансном.


Доказательство. Если \mu\ne 0, то заменой y=e^{\mu x}\cdot z в уравнении (1) всегда можно избавиться от eμx в правой части.

L(D)eμxz = eμxL(D + μ)z = eμxPm(x)

Отсюда L(D + μ)z = Pm(x).

Таким образом доказательство теоремы осталось провести для уравнения вида

L(D)y=P_m(x)~~~~~(2)

a) Нерезонансный случай: L(0)\ne 0. Пусть

Pm(x) = p0xm + ... + pm ,
Qm(x) = q0xm + ... + qm .

Подставляя Pm,Qm в уравнениие (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем линейную алгебраическую систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов q0,...,qm

\left\{\begin{array}{lcl}a_nq_0=p_0\\
              a_nq_1+a_{n-1}\cdot mq_0=p_1\\
              ......\\
              a_nq_m=0+...=p_m\end{array} 
\right.

Матрица этой системы треугольная с числами a_n=L(0)\ne 0 по диагонали,поэтому коэффициенты Qm(x) определяются однозначно.

б) Резонансный случай:

L(λ) = λknk + a1λnk − 1 + ... + ank)


Следовательно L(D)=\left\{\begin{array}{lcl}D^n+a_1D^{n-1}+...+a{n-k}D^k, k < n\\
                D^n, k=n \end{array} 
   \right.

В случае k < n замена Dky = z в уравнении (1) приводит к уравнению

L_1(D)z\equiv (D^{n-k}+...+a_{n-k})z=P_m(x)


Поскольку L_1(0)=a_{n-k}\ne 0, то для этого уравнения имеет место нерезонансный случа. Следовательно существует, единственное решение этого уравнения z = Rm(x).

Рассмотрим уравнение

D^ky\left\{\begin{array}{lcl}R_m(x), k < n\\
                P_m(x), k=n \end{array} 
  \right.

Взяв нулевые начальные условия для этого уравнения

y(0) = y'(0) = ... = y(k − 1)(0) = 0

получаем единственное решение вида

y(x)=x^k\cdot Q_m(x).

Система Orphus

Комментарии