Система Orphus

Система Orphus

Энергетический спектр водородоподобных атомов.

Рассмотрим водородоподобный атом - ион с зарядом ядра +Ze, вокруг которого вращается один электрон.

Для простоты Бор принял, что электрон вращается вокруг ядра по окружности. При вращении по окружности радиуса r с циклической частотой \omega

m\omega^2 r=\frac{Ze^2}{r^2},

откуда \omega=Ze^2/(Lr), где L=mr^2\omega - момент количества движения электрона. Полная энергия электрона

\varepsilon=-\frac{Ze^2}{2r}

Следовательно, по классической теории должно быть

\omega=-\frac{2\varepsilon}{L}.

C другой стороны, уровни энергии водородоподобного атома должны иметь бальмеровский вид

\varepsilon_n=-ch\frac{Z^2R}{n^2}.

Отсюда следует, что при переходах атома с одного уровня на другой величина \varepsilon_n n^2 должна сохраняться. Поэтому при больших квантовых числах n и малых их изменениях \Delta n должно выполнятся соотношение

\frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon_n}+2\frac{\Delta n}{n}=0.

Отсюда с учетом правила частот Бора \Delta \varepsilon=\hbar\omega полуается

\omega=-\frac{2\varepsilon}{\hbar n}\Delta n

Это возможно только тогда, когда

L=n\hbar

Получаем

r=\frac{n^2\hbar^2}{Ze^2m},

а следовательно

\varepsilon_n=-\frac{(Ze^2)^2m}{2\hbar^2n^2}

Система Orphus

Комментарии