Система Orphus

Система Orphus

Формула Планка, законы Вина и Стефана - Больцмана.

Формула Планка.

Выразим суммарную энергию фотонов через объемную спектральную плотность излучения u_{\omega}, т.е. через энергию отнесенную к единице объема и к единичному интервалу изменения частоты:

u_{\omega}Vd\omega=ng(E)EdE

Подставляя в это выражение

g(E)=\frac{VE^2}{\pi^2c^3\hbar^3}

и

n=\frac{1}{\mbox{exp}(E/kT)-1}

найдем

u_{\omega}Vd\omega=\frac{VE^2}{\pi^2c^3\hbar^3}\frac{EdE}{\mbox{exp}(E/kT)-1}

Сокращая обе части равенства на V, заменяя E на \hbar\omega и dE на \hbar d\omega, найдем окончательно

u_{\omega}d\omega=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2 c^3}\frac{d\omega}{\mbox{exp}(\hbar\omega/kT)-1}

Полученное соотношение называется формулой Планка.

Формулу Планка часто записывают через спектральную плотность излучения, отнесенную к единичному интервалу длин волн:

u_{\lambda}d\lambda=16\pi^2\frac{\hbar c}{[\mbox{exp}(2\pi hc/\lambda kT)-1]}\frac{d\lambda}{\lambda^5}

Закон Стефана-Больцмана.

Формула Стефана-Больцмана.

Найдем полную плотность энергии равновесного излучения при температуре T

u(T)=\int_{0}^{\infty}u_{\omega}d\omega=\frac{h}{\pi^2 c^3}\int_{0}^{\infty} \frac{\omega^3d\omega}{\mbox{exp}(\hbar\omega/kT)-1}

Преобразуя интеграл к переменной x=\hbar\omega/kT, найдем

u(T)=\frac{k^4T^4}{\pi^2c^3\hbar^3}\int_{0}^{\infty}\frac{x^3dx}{e^x-1}

входящий в выражение интеграл равен \pi^4/15. Поэтому

u(T)=\frac{\pi^2k^4}{15c^3\hbar^3}T^4=\sigma'T^4

это и есть формула Стефана-Больцмана.

u=\frac{4\pi}{c}I_{\perp}
I_{\theta}=I_{\perp}\cos\theta

Тогда R^* - светимость абсолютно черного тела. Она равна

R^*=\int I_{\theta}d\Omega=2\pi I_{\perp}\int \sin\theta d(\sin\theta)

Произведя интегрирование, получим

R^{*}=\pi I_{\perp}

окончательно получаем

R^{*}=\frac{\pi^2}{60}\frac{k^4}{\hbar^3c^2}T^4=\sigma T^4

-закон Стефана-Больцмана.

Закон Вина.

Закон смещения Вина.

Найдем частоту, при которой (для данной температуры) излучаетельная способность абсолютно черного тела максимальна. Приравнивая к нулю du_\omega/d\omega найдем из формулы Планка

\frac{du_\omega}{d\omega}=\frac{\hbar}{\pi^2c^3}\frac{d}{d\omega}\left[\frac{\omega^3}{\mbox{exp}(\hbar\omega)-1}\right]=0

Вычисления приводят к транцедентному уравнению, решение котрого дает

\omega_{max}=2,8\frac{kT}{\hbar}

или для длины волны

\lambda_{max}=0,29\frac{1}{T}.

Именно Вин в 1896 г. теоретически пришел к заключению, что энергия излучения на единицу объема и единицу частоты падает по экспоненциальному закону с увеличением отношения \omega/T:

\rho(\omega)\sim\omega^3\exp\left(-\frac{\alpha\omega}{T}\right)

Система Orphus

Комментарии