Система Orphus

Система Orphus

Энтропия идеального газа.

Рассмотрим бесконечно малый обратимы процесс. С учетом уравнения состояния идеального газа имеем

dS=\frac{1}{T}U+\frac{P}{T}dV=\nu C_V\frac{dT}{T}=\nu R \frac{dV}{V}

Здесь C_V - теплоемкость одного моля газа.

S=S_0+\nu C_V \ln \left(\frac{T}{T_0}\right)+\nu R \ln \left(\frac{V}{V_0}\right)

Энтропия идеального одноатомного газа.

Если газ занимает объем V и имеет энергию E, то максимальный импульс отдельной молекулы есть p_{max}=\sqrt{2mE}. Тогда фазовая траектория будет расположена на поверхности, являющейся сферой радиуса p=p_{max} в 3N - мерном импульсном пространстве. Площадь поверхности этой сферы \sum\sim(p_{max})^{3N-1}\sim E^{(3N-1)/2}. Если принять "толщину" слоя равной \delta p=(m/2E)^{1/2}\delta E, то объем фазового пространства, занимаемого системой, составит

\Gamma=\sum\delta p\sim V^NE^{\frac{3N}{2}-1}\delta E,~~~G=\Gamma/(2\pi\hbar)^{3N},

а для энтропии получаем выражение

S=k\mbox{ln}~G=S_0+kN\mbox{ln}\left(\frac{V}{V_0}\right)+k\frac{3N}{2}\mbox{ln}\left(\frac{E}{E_0}\right)

(учтено, что N>>1). Согласно определению температуры имеем

\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_V=k\frac{3N}{2}\frac{1}{E} или E=\frac{3}{2}NkT.

Это позволяет переписать выражение для энтропии в виде:

S=k\mbox{ln}~G=S_0+kN\mbox{ln}\left(\frac{V}{V_0}\right)+\nu C_V\mbox{ln}\left(\frac{T}{T_0}\right)


Система Orphus

Комментарии