Система Orphus

Система Orphus

Коэффициенты переноса в газах.

Для оценки коэффициентов переноса (диффузии, теплопроводности, вязкости) в газах используется следующий прием. Принимается, что вдоль каждой из осей координат (X, Y, Z) движется по 1/3 всех молекул, 1/6 - в положительном, 1/6 - в отрицательном.

Рассмотрим перенос молекул вдоль оси x. Число молекул, проходящих вверх за время свободного пробега \tau через единицу площади равно

N^{(\uparrow)}=\frac{1}{6}n(x-l)\vec{v}\tau

и вниз

N^{(\downarrow)}=\frac{1}{6}n(x-l)\vec{v}\tau

здесь \vec{v} - средняя тепловая скорость, а l - длина свободного пробега молекулы.

Коэффициент диффузии.

По определению диффузионного потока

j=\frac{N^{(\uparrow)}-N^{(\downarrow)}}{\tau}\simeq -\frac{1}{3}\vec{v}l\frac{dn}{dx} \to D=-\frac{1}{3}\overline{v}l

Поскольку l=1/(n\sigma),~n ~sim P/T,~\overline{v} \sim~\sqrt{T/m}, то

D~\sim~\frac{T^{3/2}}{P\sqrt{m}}

Коэффициент теплопроводности.

Будем считать что перемещение газа как целого вдоль оси x нет. Это значит, что N^{(\uparrow)}=N^{(\downarrow)}. Пусть \varepsilon(x)=c_vT(x) - энергия молекулы в точке x, c_v - теплоемкость приходящееся на одну молекулу. Тогда согласно определению теплового потока

q=\frac{\varepsilon(x-l)N^{(\uparrow)}-\varepsilon(x-l)N^{(\uparrow)}}{\tau}=-N^{(\uparrow)}\frac{2l}{\tau}\frac{d\varepsilon(x)}{dx}=-\frac{1}{3}n\overline{v}lc_V\frac{dT}{dx}

Отсюда следует

k=\frac{1}{3}n\overline{v}lc_V=C_VD

Вязкость.

С молекулярно кинетической точки зрения вязкость - это перенос тангенциальной компоненты импульса в направлении, перпендикулярном скорости течения. Пусть u(x) - средняя скорость упорядоченного движения молекул. Тогда импульс переносимый снизу в верхний слой газа, равен

p_z^{(\uparrow)}=mu(x-l)N^{(\uparrow)}

а импульс переносимый вниз

p_z^{(\downarrow)}=mu(x-l)N^{(\downarrow)}

Здесь как и предыдущем N^{(\downarrow)}=N^{(\uparrow)}

Получаем

\frac{\Delta p_z}{\tau}=-N^{(\uparrow)}\frac{2lm}{\tau}\frac{du(x)}{dx}=-\frac{1}{3}mn\overline{v}l\frac{du}{dx}

Отсюда находим

\eta=\frac{1}{3}mn\overline{v}l=\rho D

Система Orphus

Комментарии