Система Orphus

Система Orphus

Броуновское движение.

Броуновское движение - называется беспорядочное движение малых частиц, находящихся в жидкости или газе, вызванное случайными ударами молекул окружающей среды.

Закон Эйнштейна - Смолуховского. Пусть маленькая частица движется в среде. На неё действуют два типа сил.

1) Сила торможения за счет вязкого трения \vec{F}_{tr}=\vec{v}/B. Величина B называется подвижностью частицы. В частоном случае сферической частицы: B=(6\pi R\eta)^{-1}.

2) Флуктуационная (случайная) сила \vec{X} со стороны молекул среды, \overline{\vec{X}}=0.

Запишем уравнение движения частицы:

m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\vec{X}-\frac{1}{B}\frac{d\vec{r}}{dt}

Умножая его почленно на \vec{r} и усредняя по большому числу различных частиц, получим

\frac{m}{2}\frac{d^2}{dt^2}\overline{r^2}+\frac{1}{2B}\frac{d}{dt}\overline{r^2}=\overline{mv^2}+\overline{\vec{r}\vec{X}} .

Здесь использовано тождество

\vec{r}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\frac{1}{2}\frac{d^2r^2}{dt^2}-\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2

В следствии случайного характера полагаеи \overline{\vec{r}\vec{X}} =0. Учтем также, что в сооответствии с теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы

\frac{\overline{mv^2}}{2}=\frac{3}{2}kT.

Это приводит к уравнению

\frac{m}{2}\frac{d^2}{dt^2}\overline{r^2}+\frac{1}{2B}\frac{d}{dt}\overline{r^2}=3kT

решение которого имеет вид

\overline{r^2}=\overline{r_0^2}+6kTBt+C\exp\left(-\frac{t}{mB}\right)

на достаточно больших временах получаем закон Эйнштейна-Смолуховского:

\overline{r^2}=\overline{r_0^2}+6kTBt

Система Orphus

Комментарии