Система Orphus

Система Orphus

Закон всемирного тяготения и законы Кеплера.

Содержание

Закон всемирного тяготения

В рамках классической механики гравитационное взаимодействие двух материальных точек описывается законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя материальными точками массы m и M, разделенными расстоянием R, прямо пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

F=G\frac{mM}{R^2}

в системе СИ, гравитационная постоянная равна примерно

G=6,67 \cdot 10^{-11} м^3/(кг·с^2).

Законы Кеплера.

Первый закон.

Каждая планета, вращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Доказательство:

Из закона всемирного тяготения:

\vec{a}=f(r)\vec{r}

Перейдем к полярным координатам r и \theta.

\frac{d\vec{p}}{dt}=\dot{r}\vec{r}+r\dot{\theta}\vec{\theta}

\frac{d^2\vec{p}}{dt^2}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\vec{\theta}

Подставляя \ddot{\theta} и \dot{r} получаем уравнение

r\frac{d\dot{\theta}}{dt}+2\frac{dr}{dt}\theta=0

Решая его получаем, что

\ln \dot{\theta} + \ln r= \ln l

или

r\dot{\theta}=l

Пусть u=\frac{1}{r}, тогда из уравнения движения можно получить формулу

\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=-\frac{1}{u^2l^2}f\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{GM}{l^2}

Решение этого уравнения:

u=\frac{GM}{l}[1+e\cos (\theta-\theta_0)]

В итоге получаем:

r=\frac{l^2/GM}{1+e\cos\theta}

Второй закон Кеплера

Каждая планета солнечной системы движется в плоскости, проходящей через центр солнца, причем за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющей Солнце и планету, описывает равные площади.

Третий закон Кеплера

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца, относятся как кубы больших полуосей орбит.

\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}

Доказательство:

Скорость в афелии определяется соотношением

V_B=\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)} }

T\cdot\frac{dA}{dt}=\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2} T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3


Система Orphus

Комментарии