Система Orphus

Система Orphus

Принцип Гюйгенса-Френеля.


Пусть волна света, созданная источниками, расположенными в области z < 0, достигла плоскости z=0. Световое поле в этой плоскости нам известно. Пусть его комплексная амплитуда есть f_0(x,y)=a_0(x,y)e^{i\varphi_0(x,y)}, где функции a_0(x,y) и \varphi_0(x,y) описывают распределение амплитуд и фаз колебаний в плоскости z=0.


Согласно принципу Гюйгенса каждую точку (x, y) плоскости z=0, куда пришла волна, можно рассматривать как источник вторичной волны. То есть можно представить себе, что волна возбуждает колебания некоторого фиктивного источника, который и переизлучает вторичную волну. Френель дополнил принцип Гюйгенса, предложив рассматривать световое колебание в любой точке наблюдения P в области z > 0 как результат интерференции этих вторичных волн.



Поясним принцип Гюйгенса-Френеля, рассмотрев задачу - дифракции на непрозрачном экране с отверстием. Маленькая площадка d\sigma, расположенная в точке (x, y) на открытой части волнового фронта рассматривается как источник сферической волны:
\frac{a(x,y)}{R}e^{i(kR+\varphi(x,y))}

где R-расстояние от источника до точки наблюдения P.

Согласно принятым граничным условиям, на открытой части волнового фронта, т.е. в области отверстия, волна не искажается препятствием, причем работают лишь вторичные источники, находящиеся на открытой части, не затененной непрозрачным экраном.

Амплитуда a(x, y) пропорциональна также размеру переизлучающей площадки d\sigma. Предпологается, что амплитуда колебаний в точке наблюдения пропорциональна видимой из этой точки величине площадки d\sigma, т.е. пропорциональна d\sigma\cos\alpha. Итак, a(x,y)\sim a_0(x, y)\cos\alpha d\sigma, а \varphi(x,y)=\varphi_0(x,y). Таким образом, вклад элемента d\sigma можно записать в виде

\frac{a_0(x,y)}{R}e^{i(kR+\varphi_0(x,y))}\cos\alpha d\sigma=f_0(x,y)\frac{e^{ikR}}{R}\cos\alpha\cdot d\sigma.

Полное световое колебание есть результат интерференции всех вторичных волн, т.е. волн, посылаемых всеми площадками d\sigma, расположенными в области отверстия:

f(P)=K_0\int_{S}f_0(x,y)\frac{e^{ikR}}{R}\cos\alpha\cdot d\sigma

Для определения константы K_0 рассмотрим случай, когда препятствие на пути волны отсутствует r_0 \to \infty. Мы получаем

\pi\int_{0}^{\infty}exp\left(\frac{ik}{2z}\xi\right)d\xi=\lambda zi

Учитывая, что при отсутствии препятствия f(P)=A_0e^{ikz}, находим A_0e^{ikz}=K_0(A_0e^{ikz})\lambda zi, откуда получаем K_0=1/(i\lambda).

Количественная формулировка принципа Гюйгенса - Френеля принимает вид

f(P)=\frac{1}{i\lambda}\int_{S}f_0(x,y)\frac{e^{ikR}}{R}\cos\alpha\cdot d\sigma

Система Orphus

Комментарии