Система Orphus

Система Orphus

Уравнения движения частицы во внешнем электромагнитном поле как следствие принципа наименьшего действия.

Действие для заряда в электромагнитном поле имеет вид

S=\int_{a}^b \left(-mc~ds-\frac{e}{c}A_idx_i\right).

Три пространственные компоненты 4-вектора A^i образуют трехмерный вектор \vec{A}, называемый векторным потенциалом поля. Временную же компоненту называют скалярным потенциалом; обозначим её как A^0=\varphi. Таким образом

A^i=(\varphi, \vec{A}).

Поэтому интеграл действия можно написать в виде

S=\int_{a}^b \left(-mc~ds-\frac{e}{c}\vec{A}d\vec{r}-e\varphi~dt\right)

или, вводя скорость частицы \vec{v}=d\vec{r}/dt и переходя к интегрированию по времени, в виде

S=\int_{t_1}^{t_2}\left(-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{e}{c}\vec{A}\vec{v}-e\varphi\right) dt

Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле

L=-mc\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{e}{c}\vec{A}\vec{v}-e\varphi

Надо найти уравнения движения заряда в заданном электромагнитном поле. Эти уравнения получаются варьированием действия, т.е. даются уравнениями Лагранжа

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}=\frac{\partial L}{\partial \vec{r}}

Производная \partial L/ \partial \vec{v} есть обобщенный импульс частицы Далее имеем

\frac{\partial L}{\partial \vec{r}}\equiv \nabla L=\frac{e}{c}grad~\vec{A}\vec{v}-e~grad\varphi.

Уравнение Лагранжа, следовательно имеет вид

\frac{d}{dt}(\vec{p}+\frac{e}{c}\vec{A})=\frac{e}{c}(\vec{v}\nabla)\vec{A}+\frac{e}{c}[\vec{v}~rot~\vec{A}]-e~grad\varphi

Но полный дифференциал (d\vec{A}/dt) складывается из двух частей

\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}+(\vec{v}\nabla)\vec{A}

Подставляя это в предыдущее уравнение получаем

\frac{d\vec{p}}{dt}=e(-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-grad~\varphi)+\frac{e}{c}[\vec{v}~rot~\vec{A}].

Система Orphus

Комментарии