Система Orphus

Система Orphus

Движение частицы в постоянных электрическом и магнитных полях.

Постоянным элетромагнитным полем назовем поле, не зависящее от времени.

\vec{H}=rot \vec{A}
\vec{E}= - grad \varphi

Если напряженность поля во всех точках пространчтва одинакова, то поле называют однородным. Скалярный потенциал однородного электрического поля может быть выражен через напряженность поля согласно равенству

\varphi=-\vec{E}\vec{r}

Векторный потенциал однородного магнитного поля выражается через напряженность такого поля \vec{H} в виде

\vec{A}=\frac{1}{2}[\vec{H}\vec{r}].

В однородном электрическом.

Рассмотри движение заряда e в однородном постоянном электрическом поле \vec{E}. Направление поля примем за ось x. Движение будет, очевидно, проходить в одной плоскости, которую выберем за плоскость xy. Тогда уравнения движения

\frac{d\vec{p}}{dt}=e\vec{E}+\frac{e}{c}[\vec{v},\vec{H}].

примут вид

\dot{p}_x=eE,~~\dot{p}_y=0

откуда

p_x=eEx~,~~p_y=p_0

Начало отсчета времени мы выбрали в тот момент, когда p_x=0;, p_0 есть импульс частицы в этот момент.

Кинетическая энергия \varepsilon_{kin}=c\sqrt{m^2c^2+p^2}=\sqrt{\varepsilon_0^2+(ceEt)^2}

Для скорости v_x=\dot{x} имеем

\frac{dx}{dt}=\frac{p_x c^2}{\varepsilon_{kin}^2}=\frac{c^2eEt}{\sqrt{\varepsilon_0^2+(ceEt)^2}}.

Интегрируя, находим

x=\frac{1}{cE}\sqrt{\varepsilon_0^2+(ceEt)^2}

Для определения y имеем

\frac{dy}{dt}=\frac{p_y c^2}{\varepsilon_{kin}}=\frac{p_0 c^2}{\sqrt{\varepsilon_0^2+(ceEt)^2}}

откуда

y=\frac{p_0 c}{eE}Arsh \frac{ceEt}{\varepsilon_0}

&nbsp Находим уравнение траектории избавляясь от t

x=\frac{\varepsilon_0}{eE}ch \frac{eEy}{p_0c}.

Таким образом, заряд движется в однородном электрическом поле по цепной линии.

В однородном магнитном.

Рассмотрим теперь движение заряда e в однородном магнитном поле \vec{H}. Направление поля выбереем за ось z. Уравнения движения


\dot{\vec{p}}=\frac{e}{c}[\vec{v}\vec{H}]

мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса

\vec{p}=\frac{\varepsilon\vec{v}}{c^2},

где \varepsilon - энергия частицы, которая в магнитном поле постоянная. Уравнение движения приобретают тогда вид

\frac{\varepsilon}{c^2}\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{e}{c}[\vec{v}\vec{H}],

или, в компонентах,

\dot{v}_x=\omega v_y~,~~~\dot{v}_y=-\omega v_x~,~~~\dot{v}_z=0, ~~~~~~(21.2)

где мы ввели обозначение

\omega=\frac{ecH}{\varepsilon}

Умножим второе из уравнений (21.2) на i и сложим с первым:

\frac{d}{dt}(v_x+iv_y)=-i\omega(v_x+iv_y)

откуда

v_x+iv_y=a e^{-i\omega t}

где a - комплексная постоянная. Её можно написать в виде a=v_{0t}e^{-i\alpha}, где v_{0t}, \alpha вещественны. Тогда

v_x+iv_y=v_{0t}e^{-i(\omega t+\alpha)},

и, отделяя действительную и мнимую части, находим

v_x=v_{0t}\cos (\omega t+\alpha)~,~~~v_y=-v_{0t}\sin (\omega t+ \alpha).
r=\frac{v_{0t}}{\omega}=\frac{cp_t}{eH}

.

Видно, что заряд движется в однородном магнитном поле во винтовой линии с осью вдоль магнитного поля.

Движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях.

Ограничимся нерелятивистским случаем, когда v << c, и поэтому его импульс \vec{p}=m\vec{v}; как мы увидим ниже, для этого необходимо, чтобы электрическое поле было мало по сравнению с магнитным.

Направление \vec{H} выберем за ось z, а плоскость,проходящая через векторы \vec{H} и \vec{E}, за плоскость yz. Тогда уравнения движения

m\dot{\vec{v}}=e\vec{E}+\frac{e}{c}[\vec{V}\vec{H}]

запишутся в виде

m\ddot{x}=\frac{e}{c}\dot{y}H,
m\ddot{y}=eE_y-\frac{e}{c}\dot{x}H,~~~~~~~(22.1)
m\ddot{z}=eE_z

Из третьего уравнения видно, что заряд движется равномерно-ускоренно, т.е.

z=\frac{eE_zt}{2m}t^2+v_{0z}t.

Умножая второе из уровнений (22.1) на i и складывая с первым, находим

\frac{d}{dt}(\dot{x}+t\dot{y})+i\omega(\dot{x}+i{y})=i\frac{e}{m}E_y

Решением этого уравнения является

\dot{x}+i\dot{y}=ae^{-i\omega t}+\frac{cE_y}{H}.

Отделяя действительную и мнимую часть

Для средних значений

\overline{\vec{x}}=\frac{eE_y}{H}~,~~~\overline{\vec{y}}=0.

Эту среднюю называют скоростью электрического дрейфа. В векторном виде её можно записать как

\overline{v}=\frac{c[\vec{E}\vec{H}]}{H^2}.

Все это справедливо при выполнении условия

\frac{E_y}{H}<<1,

Интегрируя еще раз и выбирая x, t, y =0, получаем

x=\frac{a}{\omega}\sin \omega t + \frac{cE_y}{H}t
y=\frac{a}{\omega}(\cos \omega t - 1)

Если a=-\frac{cE_y}{H},то

x=\frac{cE_y}{\omega H}(\omega t-\sin \omega t)

y==\frac{cE_y}{\omega H}(1-\cos \omega t)


Система Orphus

Комментарии