Система Orphus

Система Orphus

Адиабатический инвариант

Для более глубокого понимания поведения частиц в слабонеоднородных внешних полях необходимо знать, что величина

\oint\vec{p}d\vec{q}

где \vec{p} и \vec{q} - обобщенный импульс и координата частицы, является адиабатическим инвариантом.

Пусть мы имеем дело с частицей, совершающей периодическое движение вроде того что происходит в постоянном магнитном поле. Пусть это движение характеризуется некоторым параметром \lambda, определяющим свойства либо самой системы, либо же внешнего поля. Т.е. эта величина представляет собой нечто вроде ЭМ полей в предыдущих задачах. Пусть \lambda медленно (адиабатически) меняется под влиянием каких-то внешних условий,например,частица движется в слабонеоднородном поле. Т.е.

T\frac{d\lambda}{dt}<<\lambda - изменение \lambda за период T много меньше самого \lambda. Пусть H(p, q;\lambda) - Гамильтониан частицы.Тогда

\frac{d\varepsilon}{dt}=\frac{\partial H}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial H}{\partial p}\frac{dp}{dt}+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial t}

где мы воспользовались уравнениями Гамильтона \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}~,~~\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}.

Выражение, стоящее справа зависит медленно от медленно меняющейся \lambda и быстрых p и q. Для выделения интересующего нас систематического хода изменения энергии следует усреднить это равенство по периоду движения. А именно свести его к уравнению:

\frac{\overline{d\varepsilon}}{dt}=\dot{\lambda}\frac{\overline{\partial H}}{\partial \lambda}.

Вследствие медленности изменения \lambda мы можем вынести её производную за знак усреднения.Далее

\frac{\overline{\partial H}}{\partial \lambda}\equiv \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{\partial H}{\partial \lambda}dt

и т.к. \frac{dq}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}, то dt=\frac{dq}{\partial H\partial p}. Т.е.

\frac{\overline{d\varepsilon}}{dt}=\frac{d\lambda}{dt}\frac{\oint\frac{\partial H/\partial\lambda}{\partial H/\partial p}dq}{\oint\frac{dq}{\partial H /\partial p}}

Припериодическом движении H(p,q;\lambda)=\varepsilon=const. Из этого уравнения можно найти p=p(q; \varepsilon, \lambda). Следовательно, дифференцируя равенство H=\varepsilon по \lambda, получаем:

\frac{\partial H}{\partial \lambda}+\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial \lambda}=0.

Откуда следует, что

-\frac{\partial p}{\partial \lambda}=\frac{\partial H/\partial \lambda}{\partial H/\partial p}.

Тогда

\frac{\overline{d\varepsilon}}{dt}=\frac{d\lambda}{dt}\frac{\oint\frac{\partial p}{\partial \lambda}dq}{\oint\frac{\partial p}{\partial \varepsilon}dq}.

Следовательно

\oint (\frac{\partial p}{\partial \varepsilon}\frac{\overline{\partial \varepsilon}}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial t})dq=\frac{d}{dt}\oint pdq=0

Из последнего равенства мы получаем, что следующая величина I=\oint pdq сохраняется.


Система Orphus

Комментарии