Система Orphus

Система Orphus

Плотность и поток энергии электромагнитного поля.

rot \vec{H}-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}
rot \vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}=0

Умножим обе части первого уравнения на \vec{E}

Умножим обе части второго уравнения на \vec{H}

и сложим полученные уравнения почленно:

\frac{1}{c}\vec{E}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\frac{1}{c}\vec{H}\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}=-\frac{4\pi}{c}\vec{j}\vec{E}-(\vec{H}rot\vec{E}-\vec{E}rot\vec{H})

Пользуясь известной формулой векторного анализа

div[ab]=b~rot~a-a~rot~b
\frac{1}{2c}\frac{\partial}{\partial t}(E^2+H^2)=-\frac{4\pi}{c}\vec{j}\vec{E}-div[\vec{E}\vec{H}]

или

\frac{\partial}{\partial t} \frac{E^2+H^2}{8\pi}=-\vec{j}\vec{E}-div\vec{S} ~~~~(31.1)

вектор

\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\vec{H}] - вектор Пойтинга.

Проинтегрируем (31.1)

\frac{\partial}{\partial t}\int\frac{E^2+H^2}{8\pi}dV=-\int \vec{j}\vec{E}dV-\oint \vec{S}d\vec{f}
W=\frac{E^2+H^2}{8\pi} - плотность энергии.
\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\vec{H}] - вектор Пойтинга.

Система Orphus

Комментарии