Система Orphus

Система Orphus

Баланс энергии системы заряженных частиц и электромагнитного поля.

T_{\mu}^{\alpha}=\frac{\partial L}{\partial(\partial_{\alpha}A_{\nu})}\partial_{\mu}A_{\nu}-L\delta_{\mu}^\alpha

-канонический тензор энергии-импульса (ТЭИ) Выполняется уравнение

\frac{1}{c}F^{\mu\nu}j_{\nu}=-\partial_{\nu}T_{field}^{\mu\nu}

-баланс энергии частиц и ЭМ поля.

Определим 4-вектор

4\pi f^{\mu}\equiv -\frac{4\pi}{c}F^{\mu\nu}j_{\nu}

и подставим в него выражение для плотности 4-тока

j_{\nu}=\frac{c}{4\pi}\partial^{\mu}F_{\mu\nu}

Тогда

4\pi f^{\mu}=-F^{\mu\nu}\partial^{\nu}F_{\alpha\nu}=-\partial^{\nu}(F^{\mu\alpha}F_{\alpha\nu})+F_{\alpha\nu}(\partial^\nu F^{\mu\alpha})

Воспользуемся теперь уравнением:

\partial^{\nu}F^{\mu\alpha}+\partial^{\alpha}F^{\nu\mu}+\partial^{\mu}F^{\alpha\nu}=0

Умножая рассматриваемое уравнение на F_{\alpha\nu} получаем, что

F_{\alpha\nu}\partial^{\nu}F^{\mu\alpha}=-\frac{1}{2}F_{\alpha\nu}\partial^{\mu}F^{\alpha\nu}=-\frac{1}{4}\partial^{\mu}(F^2)

Тогда 4\pi f^{\mu}=-\partial^{\nu}[F^{\mu\alpha}F_{\alpha\nu}+\frac{1}{4}\delta)\nu^\mu F^2] и уравнение баланса энергии частиц и энергии ЭМ поля верно.


Система Orphus

Комментарии