Система Orphus

Система Orphus

Потенциалы Лиенара-Вихерта.

Определим потенциалы поля, создаваемого одним точеченым зарядом, совершающим заданное движение по траектории \vec{r}=\vec{r}_0(t)

Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения P(x, y, z) в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предществующий момент t', для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда \vec{r}_0(t') в точку наблюдения P как раз совпадает с разностью t-t'. Пусть \vec{R}(t)=\vec{r}-\vec{r}_0(t) - радиус-вектор от заряда e в точку P; вместе с \vec{r}_0(t) он является заданной функцией времени. Тогда момент t' определяется уравнением

t'+ \frac{R_0(t')}{c}=t.(63.1)

Это уравнение всегда имеет один корень

В системе отсчета, в которой в момент времени t' частица покоится, поле в точке наблюдения в момент t дается просто кулоновским потенциалом, т.е.

\varphi= \frac{e}{R(t')},~~ \vec{A}=0~~~~(63.2)  .

Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при скорости \vec{v}=0 давал для \varphi и \vec{A} значения (63.2). Замечая, что согласно (63.1) \varphi из (63.2) можно написать также и в виде

\varphi= \frac{e}{c(t-t')},

находим, что искомый 4-вектор есть

A^i=e \frac{u^i}{R_k u^k}

где u^k - 4-скорость заряда, а 4-вектор R^k=[c(t-t'), \vec{r}- \vec{r}'], причем x', y', z', t' связаны друг с другом соотношением (63.1); последнее может быть записано в инвариантном виде как

R_k R^k=0.

Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим для потенциала поля, создаваемого произвольно движущимся точечным зарядом, следующие выражения:

\varphi= \frac{e}{(R- \vec{v} \vec{R} / c)}~,~~~\vec{A}=\frac{e\vec{v}}{c(R-\vec{v}\vec{R}/c)}

где \vec{R} - радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку P, и все величины в правых частях равенства должны быть взяты в момент времени t', определяющейся из (63.1). Потенциалы поля в этом виде называются потенциалами Лиенара-Вихерта.


Система Orphus

Комментарии