Система Orphus

Система Orphus

Дифференцированние интеграла типа Коши. Бесконечная дифференцируемость регулярных функций.

Пусть Г –кусочно-гладкий контур, а  непрерывная на Г функция, тогда z не принадлежит границе Г – называется интегралом типа Коши.

При сформулированных условиях функция   определена и дифференцируема бесконечное число раз, причём для производных справедлива формула
Доказательство:
Докажем формулу при
n=1. Так как  непрерывна на контуре Г, то существует число М< такое, что
Фиксируем точку
z не принадлежащую Г. Пусть . Очевидно d>0. Выберем число rи возьмём произвольное число  так, чтобы . Тогда для любого
Оценим выражение
Упростим выражение в скобках под интегралом получим
Поэтому получаем оценку
 в пределе получаем равенство.

Общий случай получается аналогично первому случаю для n-1 производной, учитывая равенство

Пусть функция f регулярна в области G. Тогда эта функция имеет в G производные всех порядков.


Система Orphus

Комментарии