Система Orphus

Система Orphus

Понятие конформного отображения в расширенной комплексной плоскости. Теорема Римана о существовании конформного отображения и принцип соответствия границ (без доказательства). Общий вид конформного отображения единичного круга на себя.

Определение. Пусть отображение w=f(z) расширенной комплексной плоскости имеет в точке = устранимую особую точку. Отображение w конформно в точке , если отображение g(z)=w(1/z), доопределенное по непрерывности в нуле, конформно в точке нуль.

Определение. Пусть - ОТ для w, но не является УОТ. Отображение w конформно в точке , если отображение g=1/w, доопредленное по непрерывности в точке , конформно в .

Определение. Отображение w=f(z): Gконформно в области G, если оно однолистно на G и конформно в каждой точке из области G.

Теорема Римана. Пусть дана односвязная область G, граница которой состоит более чем из одной точки. Тогда существует конформное отображение области G на круг <1. При этом , , существует и единственна ф-ция f: G, осуществляющая конформное отображение ообласти G на круг<1, для которого выполнены условия нормировки: f()=, arg f ' ()=.

Следствие 1. Если даны 2 односвязные области G и в , границы которых состоят более чем из одной точки, то сущ-ет  конформное отображение, переводящее G в .

Следствие 2. Все конформные отображения, переводящие круг (0) на себя, имеют вид: w=.

Теорема. (Принцип соответствия границ). Пусть даны 2 ограниченные односвязные области G и , границы которых Г и явл. простыми, кус.-гл. кривыми. Пусть отображение f:G-конформно. Тогда сущ-ет непрерывное продолжение ф-ции f на её замыкание =GГ, причем осуществляет взаимно-одн.отобр-е замкнутой области  незамкнутую область =, границу Г отображает на границу с сохранением ориентации относительно своей области.

 


Система Orphus

Комментарии