Система Orphus

Система Orphus

Теорема об обратной функции.

Теорема 1

Формулировка. Пусть даны две области G и H в комплексной плоскости \mathbb{C}, две регулярные функции f:G \rightarrow \mathbb{C} и g: H \rightarrow \mathbb{C}, причем выполнено условие,что f(z)\in H для всех z \in G (т. е. f(G)\subset H). Тогда сложная функция \zeta=g(f(z)) регулярна в области G и справедлива формула дифференцирования

\zeta'(z)=g'(f(z))f'(z), \forall z \in G.~~~~~~(1)

Доказательство. теорема сводится к проверке формулы (1). Для этого возьмем произвольную точку z_0 \in G и пусть \omega_0 = f(z_0). Приращения функции \Delta f и \Delta g по определению дифференцируемости функции принимают вид

\Delta f=f'(z_0)\Delta z+o(\Delta z),~~~~\Delta \zeta=g'(\omega_0)\Delta \omega + o(\Delta \omega)

В итоге, переходя к пределу в выражении \frac{\Delta \zeta}{\Delta z}=g'(\omega_0)\frac{\Delta f}{\Delta z} + o(\frac{\Delta f}{\Delta z}), получаем формулу (1). Так как по условию теоремы функция g'(\omega) непрерывна на f(G), функции f(z), f'(z) непрерывны на области G, т. е. функция g(f(z)) регулярна в G.

Теорема 2

Формулировка. Пусть на области G заданы регулярная функция f: G \rightarrow \mathbb{C} и точка z_0 \in G. Пусть точка \omega_0 = f(z_0) и пусть выполнено условие f'(z_0)\ne 0. Тогда существуют круги B_{\delta}(z_0)\subset G и B_{\varepsilon}(\omega_0) такие, что

a) f'(z)\ne 0 ~~~\forall z \in B_{\delta}(z_0);


б) Для любой точки \omega \in B_{\varepsilon}(\omega_0) уравнение f(z)=\omega имеет единственное решение z в круге B_{\delta}(z_0), т.е. на круге B_{\varepsilon}(\omega_0) существует обратная к функции f функция g: B_{\varepsilon}(\omega_0)\rightarrow B_{\delta}(z_0) (т.е. функция, для которой f(g(\omega))=\omega;)

в) Обратная функция g: B_{\varepsilon}(\omega_0)\rightarrow B_{\delta}(z_0) регулярна, причем её производная вычисляется по формуле

g'(\omega)=\frac{1}{f'(g(\omega))},~~~\forall \omega \in B_{\varepsilon}(\omega_0).~~~~~(2)

Доказательство. Пусть z_0=x_0+iy_0,~\omega_0=u_0+iv_0,f(z)=u(x, y)+iv(x,y). Задание функции f: G \rightarrow \mathbb{C} эквивалентно заданию отображения

\begin{cases}
  u=u(x,y) \\
  v=v(x,y)
\end{cases}: G \rightarrow \mathbb{R}^2 ~~~~~~~(3)

Якобиан отображения (3) в силу условия Коши-Римана равен

J(x,y)=\begin{vmatrix} u'_x & v'_y \\ v'_x & u'_y \end{vmatrix} = u_x^2+v_x^2=|f'(z)|^2.~~~~~~(4)

Итак, отображение (3) непрерывно дифференцируема, и в силу условия теоремы и формулы (4) получаем, что J(x_0, y_0)\ne 0, т.е. выполнены условия теоремы о неявной вектор-функции, в силу которой существуют круги B_{\delta}(z_0) и B_{\varepsilon}(\omega_0) такие что  J(x, y)\ne 0,\forall (x, y)\in B_{\delta}(z_0) ~and~ \forall (\hat{u}, \hat{v}) \in B_{\varepsilon}(\omega_0) система уравнений \begin{cases}
\hat{u}=u(x,y),\\
\hat{v}=v(x, y)
\end{cases} имеет в B_{\delta}(z_0) единственное решение (x(\hat{u}, \hat{v}), y(\hat{u}, \hat{v})) т.е. существует отображение

\begin{cases}
x=x(u,v),\\
y=y(u, v),
\end{cases}
~~\forall (u, v) \in B_{\varepsilon}(\omega_0)~~~~~~(5)

обратное к отображению (3). Более того, по той же теореме функции x(u, v) и y(u, v) непрерывны дифференцируемы в круге B_{\varepsilon}(\omega_0). Отображению (5) на комплексной плоскости \mathbb{C}соответствует комплекснозначная функция g: B_{\varepsilon}(\omega_0)\to B_{\delta}(z_0) вида

z=g(\omega)=x(u, v)+iy(u, v)~~~~(6)

Покажем, что функция (6) регулярна в B_{\varepsilon}(\omega_0). Перепишем тождество (7) по компонентам:

\begin{cases}
u\equiv u(x(u, v), y(u, v)),\\
v \equiv u(x(u, v), y(u, v)),
\end{cases}~~\forall (u, v)\in B_{\varepsilon}(\omega_0)

Так, как функции u(x, y), v(x, y)\in C^{1}(B_{\delta}(z_0)), а функции x(u, v), y(u, v)\in C^{1}(B_{\varepsilon}(\omega_0)), то, дифференцируя тождество (8) по переменным u и v, получаем систему уравнений

\begin{cases} 1=u_x\cdot x_u+u_y\cdot y_u,\\
0=u_x\cdot x_v+u_y\cdot y_v;\end{cases}~~~\begin{cases} 0=v_x\cdot x_u+v_y\cdot y_u,\\
1=v_x\cdot x_v+v_y\cdot y_v;\end{cases}

Которые можно переписать в виде матричного равенства

\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix}.~~~~~(9)

Равенство (9) означает, что матрица \begin{pmatrix} x_u & x_v\\y_u & y_v \end{pmatrix} является обратной к \begin{pmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}, и так как по формуле (4) якобиан J(x, y)\ne 0 при всех (x, y)\in B_{\delta}(z_0), то вычисляя обратную матрицу, получаем соотношения

x_u=\frac{v_y}{J},~~x_v=-\frac{u_y}{J},~~y_{u}=-\frac{v_x}{J},~~y_v=\frac{u_x}{J}

Из условий Коши-Римана, записанных для функций u и v, и из формул (10) получаем равенств x_u=y_v,~~~x_v=-y_u, которые означают условия Коши-Римана для обратной функции g, т.е. функция g(\omega) дифференцируема. При этом по формуле (7) из \S 3 получаем

g(\omega)=\frac{v_y-iv_x}{J}=\frac{u_x-iv_x}{u_x^2+v_x^2}=\frac{1}{u_x+iv_x}=\frac{1}{f'(g(\omega))},

т.е. справедлива формула (2). Так как производная f'(z)\ne 0 на круге B_{\delta}(z_0), а функции f'(z) и g(\omega) непрерывны, то в силу формулы (2) получаем, что функция g'(\omega) непрерывна, т.е. g(\omega) регулярна в круге B_{\varepsilon}(\omega_0).


Система Orphus

Комментарии