Система Orphus

Система Orphus

Основные свойства интегралов.

Содержание

1 Свойство. Линейность

\int_{\gamma}(\lambda f(z)+\mu g(z))dz=\lambda \int_{\gamma}f(z)dz+\mu\int_\gamma g(z)dz

2 Свойство.

Обозначим \gamma^{-1} контур, полученный из \gamma заменой ориентации на противоположную. Тогда

\int_{\gamma^{-1}}f(z)dz=-\int_{\gamma}f(z)dz

3 Свойство

Пусть кусочно-гладкий контур \gamma является объединением двух кусочно-гладких контуров \gamma_1 и \gamma_2. Тогда

\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma_1}f(z)dz+\int_{\gamma_2}f(z)dz

4 Свойство.

Справедлива оценка интеграла

\left|\int_{\gamma}f(z)dz\right| \le \int_{t_0}^{t_1}|f(x(t)+iy(t))|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt=\int_{\gamma}|f(z)||dz|

Из формулы (3) получаем оценку

|\sigma(\lambda)|=\left|\sum_{k=1}^{m_\lambda}f(\zeta_k)\Delta z_k\right|\le \sum_{k=1}^{m_{\lambda}}|f(\zeta_k)||\Delta z_k|

5 Инвариантность

Интеграл (3) не зависит от выбора параметризации z(t) контура \gamma при условии, что каждая такая параметризация индуцирует одну и ту же ориентацию контура \gamma.


Система Orphus

Комментарии