Система Orphus

Система Orphus

Интегральная теорема Коши для регулярной функции (случаи односвязной звездной области и неодносвязной области).

Теорема 1 (Коши)

Для всякой регулярной функции f: G\to \mathbb{C}, заданной в односвязной области G, справедливо равенство

\int_{\gamma}f(z)dz=0,

Доказательство:

\int_{\gamma}f(z)dz=J_1+iJ_2

где

J_1=\int_{\gamma}udx-vdy;~~~~J_2=\int_{\gamma}vdx+udy

Через D обозначим односвязную область в G, границей которой является данный контур \gamma.

Из курса математического анализа известна следующая формула Грина:

\int_{\gamma}Pdx+Qdy=\int\int_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy,
J_1=\int\int_D\left(-\frac{\partial v} {\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)dxdy=0

J_2=\int\int_D\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)dxdy=0


Система Orphus

Комментарии