Система Orphus

Система Orphus

Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Теорема Больцано-Вейрштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть \{x_n\} - ограниченная последовательность, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, т.е.

\exists a,b: \forall n\in \mathbb{N}\to x_n\in\Delta=[a,b].

Разобьем отрезок \Delta=[a,b] пополам точкой d. Тогда по крайней мере один из отрезков [a,d], [d,b] содержит бесконечное число членов последовательности \{x_n\}. Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим \Delta_1=[a_1,b_1], его длина равна

b_1-a_1=\frac{b-a}{2}.

Разделив отрезок \Delta_1 пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок \Delta_2=[a_2,b_2], содержащий бесконечное число членов последовательности \{x_n\}. Продолжая эти рассуждения, получим последовательность \{\Delta_n=[a_n,b_n]\} отрезков таких что:


1)\Delta_1\supset\Delta_2\supset\ldots\supset\Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset\ldots

2) b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\to 0 при n\to\infty


Следовательно, \{\Delta_n\} - стягивающаяся последовательность отрезков. По теореме Кантора существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, т.е.

\exists c:\forall k \in \mathbb{N} \to c\in\Delta_k~~~~~(2),

Покажем, что найдется подпоследовательность \{x_{n_k}\} последовательности\{x_n\} такая, что

\lim_{k\to\infty}~x_{n_k}=c.

Так как отрезок \Delta_1 содержит бесконечное число членов последовательности \{x_n\}, то

\exists n_1\in N:x_{n_1}\in\Delta_1.

Отрезок \Delta_2 также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому

\exists n_2 > n_1: x_{n_2}\in \Delta_2.

Вообще,

\forall k\in N~\exists n_k:~x_{n_k}\in \Delta_k, где n_1<n_2<\ldots<n_{k-1}<n_k.

Следовательно, существует подпоследовательность \{x_{n_k}\} последовательность \{x_n\} такая, что

\forall k\in N \to a_k\leqslant x_{n_k}\leqslant b_k~~~~~(4)

Условия (2) и (4) означают, что точки c и x_{n_k} принадлежит отрезку \Delta_k=[a_k, b_k], и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка \Delta_k, т.е.

|x_{n_k}-c|\leqslant b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}.

Так как \left\{\frac{1}{2^k}\right\} - бесконечно малая последовательность, следует утверждение теоремы.

Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной .

Необходимость. Пусть последовательность \{x_n\} имеет конечный предел a. По определению предела

\forall \varepsilon > 0~\exists N_\varepsilon : \forall p \geqslant N_\varepsilon \to |x_p-a|< \frac{\varepsilon}{2}. ~~~~~(1)

Полагая в (1) сначала p=n, а затем p=m и используя неравенство для модуля суммы (разности), получаем

|x_m-x_n|=|(x_m-a)-(x_n-a)|\leqslant |x_n-a|+|x_m-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.

Следовательно для любого n \geqslant N_\varepsilon и для любого m \geqslant N_\varepsilon выполняется неравенство |x_n-x_m|<\varepsilon, т.е последовательность является фундаментальной.

Достаточность. Пусть \{x_n\} - фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности

\forall \varepsilon > 0~\exists~n_{\varepsilon}~:~\forall n,~m \geqslant~n_{\varepsilon}\to|x_n-x_m|<\frac{\varepsilon}{2}.~~~~~~~(2)

Так как фундаметальная последовательность \{x_n\} является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность \{x_{n_k}\}. Пусть её предел равен a, т.е.

\lim_{k \to \infty} x_{n_k}=a.~~~~~(3)

Покажем, что число a является пределом исходной последовательности \{x_n\}. По определению предела (3)

\forall\varepsilon > 0~\exists~k_{\varepsilon}:\forall k\geqslant k_{\varepsilon}\to|x_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2},~~~~~~(4)

Пусть N_{\varepsilon}=\max(n_\varepsilon,k_\varepsilon). Фиксируем в (4) номер n_k \geqslant N_\varepsilon. Тогда при m=n_k и при всех n \geqslant N_\varepsilon в силу (2) выполнется неравенство

|x_{n_k}-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}~~~~~(5).

Из (4) и (5) следует, что при всех n \geqslant N_\varepsilon справедливо неравенство

|x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leqslant |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,

т.е. \lim_{n\to\infty}x_n=a.


Система Orphus

Комментарии