Система Orphus

Система Orphus

Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, достижение точных верхней и нижней граней.

Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает своих верхней и нижней граней.

Доказательство. Пусть

B:=\sup_{[a,b]}~f\leqslant +\infty.

По определению верхней грани

\forall~n \in \mathbb{N}~\exists x_n\in[a,b]:~f(x_n)\in U_{\frac{1}{n}}(B).

Следовательно, f(x_n)\to B при n\to\infty. Последовательность \{x_n\} ограничена, так как a\leqslant x_n \leqslant b~~\forall n\in \mathbb{N}. По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим из неё сходящуюся подпоследовательность \{x_{n_k}\}, x_{n_k}\to x_0 при k\to\infty. Переходя к пределу в неравенстве a\leqslant x_{n_k}\leqslant b, получаем, что x_0\in[a,b]. В силу непрерывности функции f в точке x_{0} имеем

f(x_{n_k})\to f(x_0) при k\to\infty.

С другой стороны, {f(x_{n_k})} - подпоследовательность сходящейся к B последовательности. Поэтому f(x_{n_k})\to B при k\to\infty. Из последних двух соотношений получаем, что

\sup_{[a,b]}~f=B=f(x_0).

Отсюда следует, во-первых, что \sup_{[a,b]}f<+\infty, т.е. что функция f ограничена сверху, и, во-вторых, что функция достигает своей верхней грани в точке x_0.

Аналогично можно доказать, что функция f ограничена снизу и достигает своей нижней грани. Теорема доказана.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр 55


Система Orphus

Комментарии