Система Orphus

Система Orphus

Свойства интеграла с переменным верхним пределом (непрерывность, дифференцируемость). Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда на [a, b] определена функция

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt,~~a\leqslant x\leqslant b,~~~~~~(1)

называемая интегралом с переменным верхним пределом.


Теорема 1. Пусть f интегрируема на [a,b]. Тогда функция F непрерывна на [a, b].

Доказательство. Пусть x_0,x_0+\Delta x\in[a,b]. Тогда

F(x_0+\Delta x)-F(x_0)=\int\limits_{a}^{x_0+\Delta x}f(t)dt-\int\limits_{a}^{x_0}f(t)dt=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt

Функция f ограничена на [a, b] (поскольку она интегрируема), так что при некотором M

|f(t)|\leqslant M~\forall t\in[a,b].

Следовательно

|F(x_0+\Delta x)-F(x_0)|\leqslant M|\Delta x|\to 0 при \Delta x \to 0,

что и требовалось показать.


Теорема 2. Пусть функция f интегрируема на [a, b] и непрерывна в точке x_0\in[a,b]. Тогда функция F(x) имеет производную в точке x_0 и

F'(x_0)~=~f(x_0),~~~~(2)

Доказательство. Вычитая из \frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x} предпологаемый предел f(x_0), имеем при x_0+\Delta x \in [a,b]

\frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt.

Пусть \varepsilon > 0. Тогда в силу непрерывности f в точке x_0~\exists \delta~:~|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon , если t\in [a,b], |t-x_0|<\delta.

Следовательно, при |\Delta x| < \deltax_0+\Delta x \in [a,b])

\left|\frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|\leqslant\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}|f(t)-f(x_0)|dt\leqslant \varepsilon\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}1dt=\varepsilon

Но это означает, что

\frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x}\to f(x_0) при x_0+\Delta x \in [a,b], \Delta x \to 0

что и требовалось показать.


Теорема 3.Пусть функция f непрерывна на (a,b). Тогда она имеет на (a, b) первообразную

F(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)dt, где x_0\in(a,b).

Доказательство.

следует из формулы (2) при x\in(a,b), x \geqslant x_0, и формулы ∃G′(x) = −F′(x) = −f(x) при x\in(a,b), x \leqslant x_0, если учесть, что в последнем случае F можно представить в виде F(x)=-\int_{x}^{x_0}f(t)dt.


Основная теорема интегрального исчисления. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и \Phi - её первообразная на этом отрезке. Тогда

\int_{a}^{b}f(x)dx=\Phi(b)-\Phi(a) (4).

Это формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Функция F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt является первоообразной для функции f на отрезке [a,b]. Поэтому

F(x)=\Phi(x)+C,~~a\leqslant x\leqslant b,

т.е.

\int_{a}^{x}f(t)dt=\Phi(x)+C,~~a\leqslant x\leqslant b.

Отсюда следует при x=a получаем 0=\Phi(a)+C. Выражая из последнего равентсва C и подставляя его в предшевствующее равентсво получаем, что

\int_{a}^{x}f(t)dt=\Phi(x)-\Phi(a)~~a\leqslant x\leqslant b.

Последнее равенство при x=b совпадает с (4).


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.234.


Система Orphus

Комментарии