Система Orphus

Система Orphus

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

Определение. Говорят, что функциональная последовательность

\{f_n\}_1^{\infty},~~f_n:E\to\mathbb{C},~~E\subset\mathbb{R}^d.~~~~~(1)

сходится на множестве E равномерно к функции f: E\to\mathbb{C}, если

\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0 при n\to\infty.

При этом пишут

f_n\underset{E}\rightrightarrows f.


Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. Последовательность \{f_n\},~f_n:~E\to\mathbb{C}, сходится на E равномерно тогда и только тогда, когда выполняется условие Коши:

\forall ~\varepsilon > 0~\exists n(\varepsilon)~:~\sup_{E}|f_n-f_m|<\varepsilon~~\forall n,m \geqslant n(\varepsilon).

Доказательство.

Необходимость. Пусть f_n\underset{E}\rightrightarrows f. Тогда

\forall~\varepsilon > 0~ \exists~ n(\varepsilon)~:~\sup_{E}|f_n-f|<\frac{\varepsilon}{2}~ при ~n\geqslant n(\varepsilon)

Отсюда следует, что n,m \geqslant n(\varepsilon),

\sup_{E}|f_n-f_m|\leqslant\sup_{E}|f_n-f|+\sup_{E}|f_m-f|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Тогда при каждом фиксированном x\in E выполнено условие

\forall~\varepsilon>0~ \exists n(\varepsilon)~:~|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon~\forall n, m \geqslant n_\varepsilon,~\forall x\in E~~~~~(2).

В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности \{f_n(x)\} сходится для \forall x\in E. Обозначим предел числовой последовательности \{f_n(x)\} через f(x). Покажем, что f_n\underset{E}\rightrightarrows f. Перейдем для этого в оценке (2) к пределу при m\to\infty. Получим, что

\forall \varepsilon>0~\exists n(\varepsilon)~:~|f_n(x)-f(x)|\leqslant \varepsilon~~\forall n\geqslant n(\varepsilon),~~\forall x\in E.

Переходя в последнем неравенстве к верхней грани по x\in E, видим что f_n\underset{E}\rightrightarrows f по определению 2.


Определение. Говорят, что ряд сходится на E равномерно, если последовательность \{S_n\} его частичных сумм сходится на E равномерно.


Система Orphus

Комментарии