Система Orphus

Система Orphus

Степенные ряды. Радиус сходимости.

Определение. Функциональный ряд

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n,~~~~~

где a_n и z_0 - комплексные числа, а z - комплексная переменная, называется степенным рядом.


Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется число или +\infty:

R=\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}\sqrt[n]{|a_n|}},~~0\leqslant R\leqslant +\infty~~~~(2)

кругом сходимости ряда (1) называется круг

\{z~:~|z-z_0|<R\}.~~~~~(3)

Круг сходимости является открытым множеством. При R=+\infty он совпадает со всей комплексной плоскостью.

Формула (2) называется формулой Коши-Адамара.


Теорема. Признак Коши. Пусть в \sum^{\infty}_{n=1}b_n,~~b_n\geqslant 0, ~l=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{b_n}. Тогда

1. при l<1 ряд сходится

2. при l>1 ряд расходится и даже общий член не стремится к нулю.

q=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n z^n|}=\frac{|z|}{R}.

Теорема. Пусть R - радиус сходимости ряда. Тогда

1. при |z|<R ряд сходится и даже абсолютно.

2. при |z|>R ряд расходится и даже общий член не стремится к нулю.


Теорема. Пусть R - радиус сходимости степенного ряда, 0<r<R. Тогда в круге \{z\in\mathbb{C}~:~|z|\leqslant r\} ряд сходится равномерно.

Доказательство: |a_n z^n|\leqslant|a_n|r^n - числовой сходящийся ряд.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.297.


Система Orphus

Комментарии