Система Orphus

Система Orphus

Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда.

Пусть R>0 - радиус сходимости ряда

\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k=:~f(x),~~~~(6)

a_k - вещественные числа.

Тогда при |x-x_0|<R f имеет производные всех порядков, которые находятся почленным дифференцированием;

Доказательство.


Докажем утверждение, что степенные ряды, полученные почленным дифференцированием или почленным интегрированием, имеют тот же радиус сходимости R.

Радиусы сходимости рядов \sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k и \sum_{k=1}^{\infty}ka_k(x-x_0)^{k-1} совпадают.

Доказательство. Пусть радиусы сходимости указанных рядов соответственно R и R'. Очевидно, что ряд \sum_{k=1}^{\infty}ka_k(x-x_0)^k сходится там же, где \sum_{k=1}^{\infty}ka_k(x-x_0)^{k-1}, и, следовательно, имеет тот же радиус сходимости R'. В силу

R'=\frac{1}{\underset{k\to\infty}{\lim}\sqrt[k]{|ka_k|}}=\frac{1}{\underset{k\to\infty}\lim\sqrt[k]{|k|}\times\underset{k\to\infty}{\lim}\sqrt[k]{|a_k|}}=\frac{1}{\underset{k\to\infty }{\lim}\sqrt[k]{|a_k|}}=R.


Утверждение следует из 3 и равномерной сходимости ряда.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.303.


Система Orphus

Комментарии