Система Orphus

Система Orphus

Формула Грина.

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывно дифференцируемы в односвязной области \Omega\subset R^2, а простой кусочно гладкий контур \Gamma\subset\Omega ограничивает область G\subset\Omega. Тогда справедлива формула Грина

\int\limits_{\partial G}Pdx+Qdy=\iint\limits_{G}\left[\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right]dxdy,~~~~~(1)

где \partial G есть положительно ориентированная граница области G.

Доказательство.

Докажем сначала формулу (1) в наиболее простом случае, когда область G еще и элементарна относительно обеих координатных осей, т.е. существуют такие кусочно непрерывно дифференцируемые и непрерывные функции \varphi(x),\psi(x),x\in[a,b], и \alpha(y),\beta(y),y\in[c,d], что

\bar{G}=\{(x,y):~a\leqslant x\leqslant b,\varphi(x)\leqslant y\leqslant\psi(x)\}=

=\{(x,y):~c\leqslant y\leqslant d,~\alpha(y)\leqslant x\leqslant \beta(y)\}.

.

Примерами таких областей являются внутренности круга, эллипса, треугольника.

Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному, получаем равенства

-\iint\limits_{G}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy=-\int\limits_{a}^{b}dx\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\int\limits_{a}^{b}P(x,\varphi(x))dx-\int\limits_{a}^{b}P(x,\psi(x))dx=

=\int\limits_{ABCD}Pdx+\int\limits_{DE}Pdx+\int\limits_{EFMN}Pdx+\int\limits_{NA}Pdx=\int\limits_{\partial G}Pdx.~~~~~~(2)

Добавленные интегралы по вертикальным отрезкам DE и NA равны нулю, так как на этих отрезках x=\mathrm{const}. Аналогично доказывается формула

\iint\limits_{G}\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dxdy=\int\limits_{\partial G}Q(x,y)dy.~~~~~(3)

Складывая равенства (2) и (3) получаем формулу Грина (1).

Пусть теперь область G по-прежнему ограничена кусочно гладкой замкнутой кривой \partial G. Предположим её можно кусочно гладкой простой кривой \Gamma разбить на две области простейшего вида рассмотренные выше. Тогда

\partial G_1=\Gamma \cup \Gamma_1,~\partial G_2=\Gamma^{-}\cup\Gamma_2,

Применяя формулу Грина в каждой из областей G_1 и G_2, получаем при складывании, что интегралы по \Gamma и \Gamma^{-} взаимно уничтожаются и мы опять приходим к формуле Грина. При помощи математической индукции легко обобщить на случай односвязной области.


Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математичсекого анализа. стр.541.


Система Orphus

Комментарии