Система Orphus

Система Orphus

Формула Остроградского-Гаусса.

Пусть G\subset \mathbb{R}^3 - ограниченная область, граница которой \partial G есть кусочно гладкая поверхность, ориентированная внешними нормалями. В \bar{G}=G\cup\partial G задано непрерывно дифференцируемое векторное поле \vec{a}=\{P,Q,R\}. Тогда поток векторного поля \vec{a} через границу области \partial G равен тройному интегралу от \mathrm{div}\vec{a} по области G, т.е.

\iint\limits_{\partial G}(\vec{a},\vec{n})dS=\iiint\limits_{G}\mathrm{div}~\vec{a}~dG,~~~~~(1)

или

\iint\limits_{\partial G}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_{G}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz.~~~~(2)

Доказательство.

Докажем сначала формулу Остроградского-Гаусса в одном важном частном случае, когда область G еще и элементарна относительно всех трех координатных осей. Напомним, что область G называется элементарной относительно оси z, если найдутся две такие непрерывные в замыкании области \Omega\subset \mathbb{R}^2 функции \varphi(x,y) и \psi(x,y), что

G=\{(x,y,z)~:~\varphi(x,y)<z<\psi(x,y),~(x,y)\in\Omega\}.

Применяя формулу сведения тройного интеграла к повторному, получаем

\iiint\limits_{G}\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)dxdydz=\iint\limits_{\Sigma_1}R(x,y,z)dxdy+\iint\limits_{\Sigma_2}R(x,y,z)dxdy.(3)

Здесь \Sigma_1 - поверхность, являющаяся графиком функции \psi(x,y), a \Sigma_2 - поверхность, являющаяся графиком функции \varphi(x,y).


Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математичсекого анализа.стр.542.(583_


Система Orphus

Комментарии