Система Orphus

Система Orphus

Формула Стокса.

Формула Стокса для простой гладкой поверхности.

Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простая поверхность \Sigma уравнением

\vec{r}=\vec{r}(u,v),~~(u,v)\in\Omega\subset R^2.(1)

Здесь \Omega - замкнутая область, граница которой есть положительно ориентированный гладкий (или кусочно гладкий) контур (при обходе границы \partial \Omega область \Omega остается слева). Пусть \partial \Omega задается уравнениями

u=u(t),~~v=v(t),~~\alpha\leqslant t\leqslant\beta.(2)

Образ кривой \partial \Omega при отображении (1) мы назвали положительно ориентированным краем поверхности \Sigma и обозначили \partial \Sigma.

Напомним, что ориентация поверхности \Sigma, создаваемая полем нормалей \vec{N}=[\vec{r}_u,\vec{r}_v], называется согласованной с положительной ориентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает с известным правилом правого винта.

Пусть в окрестности поверхности \Sigma задано непрерывно дифференцируемое векторное поле \vec{a}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)). Если \gamma - замкнутый контур, то криволинейный интеграл \int\limits_{\gamma}(\vec{a},d\vec{r}) в физике называют циркуляцией векторного поля \vec{a} по контуру \gamma. Если \gamma=\partial\Sigma, то говорят, что поверхность \Sigma натянута на контур \gamma.

Теорема Стокса.

Циркуляция векторного поля \vec{a} по контуру \gamma=\partial \Sigma равна потоку вихря этого поля через поверхность \Sigma, натянутую на контур \gamma, т.е.

\int\limits_{\gamma}(\vec{a},d\vec{r})=\iint\limits_{\Sigma}(\mathrm{rot}\vec{a},\vec{n})dS

Доказательство.

Докажем теорему Стокса в тех предположениях, которые были сформулированы в начале. Из (1) и (2) получаем уравнение края поверхности

\vec{r}=\vec{r}(u(t),v(t)),~~\alpha\leqslant t\leqslant\beta.

Сводя криволинейные интегралы к определенным, получаем

\int\limits_{\partial \Sigma}(\vec{a},d\vec{r})=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(\vec{a}(\vec{r}(u(t),v(t))),\vec{r}_u(u(t),v(t))u'(t)+
+\vec{r}_{v}(u(t),v(t))v'(t))dt=\int\limits_{\partial\Omega}(\vec{a},\vec{r}_u)du+(\vec{a},\vec{r}_v)dv.

Сделаем дополнительное предположение о непрерывности (а следовательно и равенстве) смешанных производных \vec{r}_{uv} и \vec{r}_{vu}. Тогда в силу формулы Грина получаем равенство

\int\limits_{\partial\Sigma}(\vec{a},d\vec{r})=\iint\limits_{\Omega}\left[\frac{\partial}{\partial u}(\vec{a},\vec{r}_v)-\frac{\partial}{\partial v}(\vec{a},\vec{r}_u)\right]dudv=
=\iint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial\vec{a}}{\partial x}x_u+\frac{\partial\vec{a}}{\partial y}y_u+\frac{\partial\vec{a}}{\partial z}z_u,\vec{r}_v\right)dudv-\iint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial\vec{a}}{\partial x}x_v+\frac{\partial\vec{a}}{\partial y}y_v+\frac{\partial\vec{a}}{\partial z}z_v,\vec{r}_u\right)dudv=
=\iint\limits_{\Omega}[(\vec{r}_v,(\vec{r}_u,\mathcal{5})\vec{a})-(\vec{r}_u,(\vec{r}_v,\mathcal{5})\vec{a})]dudv=
=\iint\limits_{\Omega}(\vec{r}_u,\vec{r}_v,\mathrm{rot}\vec{a})dudv=\iint\limits_{\Sigma}(\mathrm{rot}\vec{a},\vec{n})dS.

Здесь была использована формула

(\vec{b},(\vec{c}\mathcal{5})\vec{a})-(\vec{c},(\vec{b}\mathcal{5})\vec{a})=(\vec{c},\vec{b},\mathrm{rot}~\vec{a})

при \vec{b}=\vec{r}_v,\vec{c}=\vec{r}_u, а также формула, выражающая поток через двойной интеграл от смешанного произведения:

\iint\limits_{\Sigma}(\vec{a},\vec{n})dS=\iint\limits_{\Omega}(\vec{r}_u,\vec{r}_v,\vec{a})dudv.

Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности, натянутой на кусочно глакий контур.


Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математичсекого анализа.стр.547.


Система Orphus

Комментарии