Система Orphus

Система Orphus

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке.



f - 2\pi периодическая, абсолютно интегрируемая на отрезке [-\pi,\pi] функция.

x_0 - её почти регулярная точка f.

Тогда ряд Фурье в этой точке x_0 сходится к \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.

Если же при этом x_0 - регулярная точка f, то ряд Фурье в точке x_0 сходится к f(x_0).


Рассмотрим предел

\lim_{n\rightarrow\infty}\Delta_n=S_n(x;f)-\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}
\Delta_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)\left[f(x_0+t)+f(x_0-t)\right]dt-
-\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)dt=
=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}+\right.
+\left.\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{t}\right]\frac{t}{2\sin \frac{t}{2}}\left(\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt

Дробь \frac{t}{2\sin \frac{t}{2}}, доопределенная единицей в нуле, является непрерывной на [-\pi,\pi] функцией.

Дробь \frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t} абсолютно интегрируема на [-\pi,\pi] функция, поскольку таковой является её числитель, и при t\rightarrow 0+0 она имеет конечный предел.

По теореме Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю при n\rightarrow\infty, т.е.

S_n(x_0;f)\rightarrow\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} при n\rightarrow\infty


Следствие.Пусть 2\pi - периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [-\pi,\pi], и существует f'(x_0). Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x_0 к f(x_0).


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 2.стр.119.


Система Orphus

Комментарии