Система Orphus

Система Orphus

Достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Пусть f - 2\pi периодическая, непрерывная и кусочно-непрерывно дифференцируемая функция.

Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на \mathbb{R} и

\sup_{x\in\mathbb{R}}|S_n(x;f)-f(x)|\leqslant C\frac{\ln n}{n} при n\geqslant 2,

где C не зависит от n.

Доказательство. Пусть 0<\delta=\delta_n<\pi. Перепишем формулу

S_n(x;0)-\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}=
=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\left[\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}+\right.
\left.+\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{t}\right]\frac{t}{2\sin\frac{t}{2}}\left(\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt~~~(1)

в виде

S_n(x;f)-f(x)~=
\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{0}^{\delta}+\int\limits_{\delta}^{\pi}\right)g_x\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)r\right)dt=I_n+J_n,~~~~(4)
g_x(t):=\frac{f(x+t)+f(x-t)-2f(x)}{2\sin\frac{t}{2}}.

Пусть M_1=\max|f'|. C помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при 0<t\leqslant \pi

|f(x+t)+f(x-t)-2f(x)|\leqslant 2M_1 t.

Следовательно, при 0<t\leqslant \pi

|g_x(t)|\leqslant\frac{2M_1 t}{2\sin\frac{t}{2}}\leqslant \pi M_1

и (за исключением быть может, конечного числа значений t)

\|\frac{d}{dt}g_x(t)\|\leqslant |f'(x+t)-f'(x+t)|\frac{1}{\sin\frac{t}{2}}+
+|f(x+t)+f(x-t)-2f(x)|\frac{\cos\frac{t}{2}}{4\sin^2\frac{t}{2}}\leqslant\frac{\pi M_1}{t}+\frac{\pi M_1}{2\mathrm{tg}\frac{t}{2}}\leqslant \frac{2\pi M_1}{t}.

Очевидно, что |I_n|\leqslant \delta M_1.


С помощью интегрирования по частям имеем

J_n=\left.-\frac{1}{\pi}g_x(t)\frac{\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{n+\frac{1}{2}}\right|_{\delta}^{\pi}-\frac{1}{\pi}\int\limits_{\delta}^{\pi}\frac{d}{dt}g_x(t)\frac{\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{n+\frac{1}{2}} dt.

Отсюда

|J_n|\leqslant \frac{M_1}{n+\frac{1}{2}}+\frac{2M_1\ln\frac{1}{\delta}}{n+\frac{1}{2}}=\left(1+2\ln\frac{1}{\delta}\right)M_1\frac{1}{n+\frac{1}{2}}.

Пологая \delta=\delta_n=\frac{1}{n}, получаем, что при n\geqslant 2

\sup_{x\in\mathbb{R}}|S_n(x;f)-f(x)|\leqslant |I_n|+|J_n|\leqslant \frac{C\ln n}{n},

где C не зависит от n. Теорема доказана.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 2.стр.120-122.


Система Orphus

Комментарии