Система Orphus

Система Orphus

Непрерывность преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции.

Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на \mathbb{R} функции есть ограниченная и непрерывная на \mathbb{R} функция.

Доказательство. Так как функция f(x) абсолютно интегрируема на \mathbb{R}, то

|\hat{f}(y)|=\left|\int\limits_{\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx\right|\leqslant\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx=C_0

и, следовательно, \hat{f}(y) есть ограниченная функция на \mathbb{R}.

Для доказательства непрерывности функции \hat{f}(y) запишем её в виде

\hat{f}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos yxdx-i\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\sin yxdx=a(y)-ib(y)

и заметим, что, в силу леммы 4, $74 функция a(y) и b(y) непрерывны на \mathbb{R}.


Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. стр.645.

Лемма 4

Если f(x) - абсолютно интегрируемая на \mathbb{R} функция, то непрерывны функции a(y) и b(y), определенные равенствами

a(y)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos yt dt,~~~b(y)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin yt dt

Доказательство. Докажем, например, непрерывность a(y). Из уравнения для a(y) следует, что

|\Delta a(y)|=|a(y+\Delta y)-a(y)|\leqslant \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\left|\sin\left(\frac{t\Delta y}{2}\right)\right|dt.~~~~(15)

Так как функция f(t) абсолютно интегрируема, то интервал (-\infty,\infty) можно разбить на три таких интервала (-\infty, -c),~(-c,c) и (c,+\infty), что по бесконечным интервалам интегралы от функции |f(x)| не будут превышать \frac{\varepsilon}{3}. второй интеграл меньше чем

\frac{c}{2\pi}|\Delta y|\int\limits_{-c}^{c}|f(t)|dt,

и, следовательно, существует \delta > 0 такое, что при |\Delta y|<\delta второй интеграл меньше \frac{\varepsilon}{3}. Следует, что при |\Delta y|<\delta приращение |\Delta a(y)|<\varepsilon.


Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа.стр.644.


Система Orphus

Комментарии