Система Orphus

Система Orphus

Формула расстояния от точки до прямой и плоскости, между прямыми в пространстве.

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость с уравнением (\vec{r}-\vec{r_0},\vec{n}) = 0 и точка M с радиус-вектором R. Рассмотрим вектор \vec{M_0 M}=\vec{R}-\vec{r_0}, соединяющий начальную точку плоскости с M. Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор \vec{n}, т.е.

h=\frac{|(\vec{R}-\vec{r_0},\vec{n})|}{|\vec{n}|}.

Если в декартовой прямоугольной системе координат точка M имеет координаты (X,Y,Z), то равенство перепишется в виде

h=\frac{|AX+BY+CZ+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана уравнением [\vec{r}-\vec{r}_0,\vec{a}]=0, то мы можем найти расстояние h от точки M с радиус вектором \vec{R}, до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах \vec{R}-\vec{r}_0 и \vec{a}, на длину его основания. Результат можно записать в виде

h=\frac{|[\vec{R}-\vec{r}_0,\vec{a}]|}{|\vec{a}|}

Рассмотрим прямую на плоскости, тогда получаем

h=\frac{|AX+BY+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}


Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Пусть прямые p и q не параллельны. Известно, что в этом случае существуют такие параллельные плоскости P и Q, что прямая p лежит в P, а прямая q в Q. Расстояние h между P и Q называется расстоянием между прямыми p и q. Если p и q пересекаются, то P и Q совпадают и h=0.

Для того чтобы найти расстояние h, проще всего разделить объем параллелепипеда, построенного на векторах \vec{r}_2-\vec{r}_1, \vec{a}_1 и \vec{a}_2, на площадь его основания. Мы получим

h=\frac{|(\vec{r}_2-\vec{r}_1,\vec{a}_1,\vec{a}_2)|}{|[\vec{a}_1,\vec{a_2}]|}


Система Orphus

Комментарии