Система Orphus

Система Orphus

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице A размеров m\times n стобца \vec{b} высоты m не меняет её ранга тогда и только тогда, когда этот столбец - линейная комбинация столбцов A.

Доказательство. Докажем это. Если \mathrm{Rg}A^*=\mathrm{Rg}A, то базисный минор A является базисным и для A^*. Следовательно, \vec{b} раскладывается по базисным столбцам A. Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов A, добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициентами.


Обратно, если \vec{b} раскладывается по столбцам A, то элементарными преобразованиями стобцов можно превратить A^* в матрицу A_0, получаемую из A приписыванием нулевого столбца.

Элементарно \mathrm{Rg}A_0=\mathrm{Rg}A^*. C другой стороны, \mathrm{Rg}A_0=\mathrm{Rg}A, так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц. Отсюда \mathrm{Rg}A=\mathrm{Rg}A^*, как и требовалось.


Д.В. Беклемишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры стр.150


Система Orphus

Комментарии