Система Orphus

Система Orphus

Линейное отображение конечномерных линейных пространств, его матрица.

Определение. Пусть ~L и \bar{L} - два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением A пространства ~L в пространство \bar{L} понимается закон, по которому каждому вектору из L сопоставлен единственный вектор из \bar{L}. Мы будем писать A~:~L\to\bar{L}. Образ вектора x обозначается A(x)


Определение. Отображение A~:~L\to\bar{L} называется линейным, если для любых векторов x и y из L и любого числа \alpha выполнены равенства

A(x+y)=A(x)+A(y),~~A(\alpha x)=\alpha A(x).

Определение. Матрицей линейного отображения A~:~L\to\bar{L} в паре базисов e и f называется матрица, столбцы которой (в их естественнм порядке) - координатные столбцы векторов A(e_1),...,A(e_n) в базисе f.


Теорема. При линейном отображении A:L\to \bar{L} линейное подпространство L' \subseteq L переходит в линейное подпространство A(L')\subseteq \bar{L}, причем \mathrm{dim}~A(L')\leqslant\mathrm{dim}~L'.

Доказательство. Для нулевого подпространства доказательство очевидно. Рассмотрим подпространство L' размерности k>0. Пусть e_1,\ldots,e_k - базис в L'. Для любого вектора x\in L' имеем x~=~\xi^1 e_1+\ldots+\xi^k e_k и

A(x)~=~\xi^1 A(e_1)+\ldots+\xi^{k}A(e_k).

Определение. Ядро отображения - множество всех векторов переходящих в нулевой вектор при отображении.


Теорема. Ядро есть линейное подпространство.


Определение. Отображение при котором различные вектора имеют различные образы называется инъективным.


Теорема. Отображение инъективно тогда и только тогда, когда ядро есть нулевое подпространство.


Д.В. Беклимишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры стр. 172, 175


Система Orphus

Комментарии